Probabilités

Variance, covariance et couples

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Chapitre 11 : Variance, covariance et couples

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Mesurer le risque

La même espérance, deux risques

La définition

Variance et écart-type

V(X) = E\big[(X - E(X))^2\big] = \sum_i p_i\big(x_i - E(X)\big)^2

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Formule de König-Huygens, transposée

V(X) = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2

C’est mot pour mot V(x) = \overline{x^2} - \overline{x}^2. Moyenne des carrés moins carré de la moyenne — et c’est toujours cette forme qu’on utilise pour calculer.

Le calcul sur le dé

Les deux voies donnent le même nombre

E(X) = 3{,}5 \qquad E(X^2) = \frac16(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6} \approx 15{,}167

V(X) = 15{,}167 - 12{,}25 = 2{,}917 \qquad \sigma(X) = 1{,}708

Ce que l’écart-type apporte de plus

V(X) s’exprime en points carrés : un nombre qu’on ne peut pas interpréter.

\sigma(X) = 1{,}708 s’exprime en points de dé. Un lancer s’écarte en moyenne de 1{,}7 point de la valeur 3{,}5 : cette phrase a un sens, celle sur la variance n’en a pas.

Les propriétés

Trois règles

V(aX + b) = a^2\,V(X) \qquad\qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\mathrm{cov}(X,Y)

Deux lectures immédiates

La constante b disparaît : translater une distribution ne change pas sa dispersion.

Le coefficient a apparaît au carré, parce que la variance est une moyenne de carrés. Doubler les enjeux d’un pari quadruple sa variance, mais ne fait que doubler son écart-type.

Les couples de variables

Deux variables ensemble

Le vocabulaire, déjà connu

Les trois lois d’un couple
Nom Définition Équivalent descriptif
Jointe p_{ij} = P(X = x_i, Y = y_j) tableau de contingence
Marginales p_{i\bullet} = \sum_j p_{ij} distributions marginales
Conditionnelles P(Y = y_j \mid X = x_i) = \dfrac{p_{ij}}{p_{i\bullet}} profils-lignes
Indépendance de deux variables

X et Y sont indépendantes si, pour tout couple de valeurs,

p_{ij} = p_{i\bullet} \times p_{\bullet j}

soit : chaque case est le produit de ses deux marges.

La covariance

Elle vient de la variance

V(X) = E\big[(X - E(X))(X - E(X))\big]

Le second facteur devient l’écart de l’autre variable :

\boxed{\;\mathrm{cov}(X,Y) = E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big] = E(XY) - E(X)E(Y)\;}

La conséquence immédiate

\mathrm{cov}(X,X) = V(X)

La variance est la covariance d’une variable avec elle-même. Une seule formule pour les deux notions, exactement comme dans le cours de statistique descriptive.

Indépendance et covariance

Une implication à sens unique

X, Y \text{ indépendantes} \;\Longrightarrow\; \mathrm{cov}(X,Y) = 0

La réciproque est fausse. Une covariance nulle n’exclut qu’une liaison linéaire.

La conséquence sur la variance d’une somme

Si X et Y sont indépendantes :

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

C’est la seule situation où les variances s’additionnent — et c’est pourquoi l’hypothèse d’indépendance revient si souvent.

Le coefficient de corrélation

Normaliser la covariance

\rho(X,Y) = \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sigma(X)\,\sigma(Y)} \qquad\qquad -1 \leq \rho \leq 1

La diversification, écrite en une ligne

Deux actifs de rentabilités X et Y :

V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\rho\,\sigma(X)\sigma(Y)

  • \rho > 0 : les actifs montent et descendent ensemble, le risque dépasse la somme des risques ;
  • \rho = 0 : les risques s’additionnent ;
  • \rho < 0 : les pertes de l’un compensent les gains de l’autre, le risque diminue.

Diversifier, c’est chercher des corrélations basses. Markowitz n’a rien écrit d’autre.

L’écart-type du portefeuille

Le fil conducteur, chiffré

Les 200 crédits, sous l’hypothèse d’indépendance

Chaque X_i est une indicatrice de paramètre p = 0{,}04 : V(X_i) = p(1-p) = 0{,}04 \times 0{,}96 = 0{,}0384

Les crédits étant supposés indépendants, les variances s’additionnent : V(X) = 200 \times 0{,}0384 = 7{,}68 \qquad \sigma(X) = 2{,}771

La lecture prudentielle

E(X) = 8 défauts, \sigma(X) = 2{,}77. La banque doit donc provisionner non pas 8 défauts, mais 8 plus quelques écarts-types.

L’espérance donne la provision ; l’écart-type donne le capital. Toute la réglementation bancaire tient dans cette distinction.

Ce que l’indépendance a permis — et ce qu’elle cache

Le chiffre 2{,}77 dépend entièrement d’une hypothèse

Si les défauts étaient corrélés à \rho = 0{,}2, la variance gagnerait les 200 \times 199 termes de covariance : \sigma passerait de 2{,}8 à plus de 12.

Le nombre moyen de défauts, lui, n’aurait pas bougé — l’espérance est insensible à la corrélation.

La leçon de 2008, en une phrase

Les modèles ne se sont pas trompés sur les pertes moyennes. Ils se sont trompés sur leur dispersion, parce qu’ils avaient supposé nulle une corrélation qui ne l’était pas.

Le risque n’est pas dans l’espérance : il est dans les covariances.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 : König-Huygens, transposé mot pour mot.
  2. \sigma(X) s’interprète, V(X) non : elle est dans le carré de l’unité.
  3. V(aX+b) = a^2 V(X) : la constante disparaît, le coefficient est au carré.
  4. Loi jointe, marges, conditionnelles : le tableau de contingence, avec des probabilités.
  5. \mathrm{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y), et \mathrm{cov}(X,X) = V(X).
  6. Indépendance entraîne covariance nulle ; la réciproque est fausse.
  7. Les variances ne s’additionnent que sous indépendance — l’espérance, elle, s’additionne toujours.
La suite

Toute la machinerie est en place : loi, répartition, espérance, variance, covariance.

Reste à l’appliquer aux quelques lois qui décrivent la plupart des situations réelles. La cinquième partie s’ouvre sur celle qui les commande toutes : Bernoulli et la binomiale.

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