Probabilités
Du dé aux probabilités
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Introduction : Du dé aux probabilités
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Le cours qui précède
Statistique descriptive, dont ce cours reprend la moyenne, la variance et la covariance pour les transposer au hasard.
Les notions mobilisées
La moyenne pondérée et la variance d’une série. La lecture d’un tableau croisé. Du côté mathématique : les sommes, et pour les lois continues, l’intégrale simple.
Ce que le cours établit lui-même
Repris depuis le début
Le dénombrement, l’espace probabilisé, la variable aléatoire et les lois usuelles sont construits ici.
Le parallèle avec la statistique descriptive est explicite : l’espérance est une moyenne, la variance une variance. Ce qui change n’est pas la formule, c’est ce sur quoi elle porte — une population imaginée plutôt qu’un échantillon observé.
Le point de départ
Ce cours ne commence pas à zéro
Une bonne nouvelle, à prendre au sérieux
Les probabilités passent pour un domaine difficile. Elles ne le sont pas : vous en connaissez déjà l’essentiel, sous un autre nom.
Tout ce que vous avez appris en statistique descriptive — effectifs, fréquences, moyenne, variance, cumuls, tableaux croisés — se transpose ici mot pour mot. Un seul mot change de place. Le reste suit.
Le programme de ce chapitre
Prendre un objet que tout le monde connaît, un dé, et montrer qu’il peut se lire de deux façons : celle du statisticien qui observe, celle du probabiliste qui modélise.
Puis montrer que ces deux lectures produisent les mêmes formules.
Décrire ou prévoir
Les deux moitiés d’une même discipline
La statistique descriptive part de données déjà là et les résume : elle décrit ce qui s’est produit.
Le calcul des probabilités part d’un modèle du hasard et en déduit ce qui devrait arriver : il décrit ce qui devrait se produire.
Pourquoi un gestionnaire a besoin des deux
Une banque qui constate qu’elle a subi 8 défauts l’an dernier fait de la statistique descriptive. Une banque qui doit provisionner aujourd’hui pour les défauts de l’an prochain fait du calcul des probabilités.
Le premier regard sert à rendre compte ; le second sert à décider. Aucune décision ne porte sur le passé.
Le dé, vu par le statisticien
Un dé est une variable statistique comme une autre
L’expérience
On lance un dé 600 fois et on relève la face obtenue. On dispose alors d’une série de 600 observations, exactement comme on disposerait de 600 salaires.
La variable statistique est « la face obtenue » ; ses modalités sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Le tableau statistique
| Face x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif n_i | 98 | 101 | 104 | 103 | 89 | 105 | 600 |
| Fréquence f_i | 0{,}163 | 0{,}168 | 0{,}173 | 0{,}172 | 0{,}148 | 0{,}175 | 1 |
Ce que donne le diagramme
La moyenne, écrite comme il faut
Deux écritures de la même moyenne
\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i} n_i\,x_i \qquad\text{ou, en divisant par }n\text{ d'abord,}\qquad \boxed{\;\overline{x} = \sum_{i} f_i\,x_i\;}
La seconde écriture est celle qui compte
Elle dit : on multiplie chaque modalité par sa fréquence, et on additionne.
C’est une moyenne pondérée, où le poids de chaque valeur est la part qu’elle occupe dans les données. Retenez cette phrase : tout le chapitre en dépend.
Le calcul sur nos 600 lancers
La moyenne observée
\overline{x} = 1(0{,}163) + 2(0{,}168) + 3(0{,}173) + 4(0{,}172) + 5(0{,}148) + 6(0{,}175)
\overline{x} = 0{,}163 + 0{,}336 + 0{,}519 + 0{,}688 + 0{,}740 + 1{,}050 = 3{,}496 \approx 3{,}5
Une valeur qui n’est pas une face
3{,}5 n’est pas un résultat possible : aucune face ne porte ce nombre. Une moyenne n’a pas à être une valeur observable.
Ce détail, banal ici, sera exactement celui qui déroute les étudiants quand on l’appellera espérance.
Le dé, vu par le probabiliste
Ce que l’on observe quand on lance longtemps
Ce que la figure montre
La fréquence se stabilise
Sur dix lancers, la fréquence de la face 6 ne vaut rien : elle saute de 0 à 0{,}3 sans raison.
Sur dix mille, elle s’est immobilisée autour d’un nombre — et deux séries indépendantes s’immobilisent sur le même.
La probabilité, définie par la fréquence
La probabilité d’un résultat est la valeur limite vers laquelle tend sa fréquence quand on répète l’expérience indéfiniment :
p_i = \lim_{n \to \infty} f_i
Une seconde route vers le même nombre
L’approche par symétrie, dite de Laplace
Si les issues sont également probables, la probabilité d’un événement est le rapport
P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}
Sur le dé
Un dé équilibré n’a aucune raison de privilégier une face : p_i = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167 pour chacune des six.
C’est exactement la valeur autour de laquelle la figure précédente s’était stabilisée.
Les deux routes et leur partage des rôles
Laplace propose, l’expérience dispose
La symétrie fournit un modèle sans avoir à lancer quoi que ce soit ; elle suppose l’équiprobabilité, qui est une hypothèse et non un fait.
La fréquence vérifie ce modèle ; elle ne suppose rien, mais exige de très nombreuses répétitions.
En gestion, la symétrie n’existe pas
Aucune raison de croire a priori qu’un crédit fera défaut avec telle probabilité plutôt que telle autre. Il n’y a pas de faces à compter.
La probabilité de défaut se lit donc dans les fréquences historiques : sur dix mille crédits du même profil, quatre cents ont fait défaut, d’où p = 0{,}04. C’est le chiffre que nous suivrons dans tout le cours.
La passerelle
Le dictionnaire complet
Le remplacement fondateur
Une seule substitution
Partout où la statistique descriptive écrit une fréquence f_i, le calcul des probabilités écrit une probabilité p_i.
\overline{x} = \sum_i f_i\,x_i \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;E(X) = \sum_i p_i\,x_i\;}
L’espérance mathématique n’est rien d’autre
E(X) est la moyenne arithmétique dans laquelle on a remplacé ce que l’on a observé par ce que l’on prévoit.
Même formule, même calcul, même interprétation. Seule la source des poids change.
Le calcul, refait côté probabiliste
L’espérance du dé
E(X) = \frac16(1) + \frac16(2) + \frac16(3) + \frac16(4) + \frac16(5) + \frac16(6) = \frac{21}{6} = 3{,}5
Comparez les deux résultats
Moyenne observée sur 600 lancers : \overline{x} = 3{,}496. Espérance du modèle : E(X) = 3{,}5.
L’écart de 0{,}004 n’est pas une erreur : c’est le hasard d’échantillonnage. Il se réduira encore si l’on lance davantage — et le chapitre 19 démontrera qu’il tend vers zéro.
Ce que la substitution emporte avec elle
Toutes les formules suivent
| Statistique descriptive | Probabilités |
|---|---|
| \sum_i f_i = 1 | \sum_i p_i = 1 |
| \overline{x} = \sum_i f_i x_i | E(X) = \sum_i p_i x_i |
| V(x) = \sum_i f_i x_i^2 - \overline{x}^2 | V(X) = \sum_i p_i x_i^2 - \big[E(X)\big]^2 |
| F_i = \sum_{j \leq i} f_j | F(x) = P(X \leq x) |
| tableau de contingence | loi jointe |
| \mathrm{cov}(x,y) | \mathrm{cov}(X,Y) |
Ce que la substitution emporte avec elle (suite)
Il n’y a donc pas de formules nouvelles à apprendre
Il y a des formules connues, appliquées à des poids nouveaux.
Ce qui est nouveau dans ce cours n’est pas le calcul : c’est la question de savoir d’où viennent les p_i. Les répondre occupe les chapitres 1 à 7 ; les exploiter occupe le reste.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- La statistique descriptive décrit ce qui s’est produit ; les probabilités décrivent ce qui devrait se produire.
- Une probabilité est la limite d’une fréquence quand on répète l’expérience indéfiniment.
- Quand les issues sont symétriques, elle se calcule aussi comme le rapport cas favorables sur cas possibles.
- Remplacer f_i par p_i dans la moyenne arithmétique donne l’espérance mathématique E(X) = \sum_i p_i x_i.
- Cette substitution vaut pour toutes les formules du cours précédent : le calcul des probabilités est l’autre face de la statistique descriptive.
La suite
Une seule difficulté reste : obtenir les p_i quand l’expérience est plus riche qu’un dé — trois tirages, cinq candidats, deux cents crédits.
Il faut alors compter les cas possibles, et les compter sans les énumérer. C’est le dénombrement, et c’est l’objet des chapitres 2 à 4. Le chapitre 1 pose d’abord le vocabulaire.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)