Probabilités

La variable aléatoire

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Chapitre 8 : La variable aléatoire

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Attacher un nombre au hasard

Ce qui manque encore

Les événements ne se calculent pas

Jusqu’ici, les issues étaient des mots : « pile », « défaut », « sain ». On peut leur attribuer une probabilité, mais on ne peut ni les additionner, ni en prendre la moyenne.

Or un gestionnaire veut un coût moyen, une perte totale, un écart-type. Il lui faut des nombres.

La solution

On associe à chaque résultat de l’expérience un nombre réel. Cette association s’appelle une variable aléatoire.

Toute l’arithmétique de la statistique descriptive redevient alors disponible.

La définition

Trois précisions de vocabulaire

Variable aléatoire

Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque élément de l’univers \Omega un nombre réel.

Elle est discrète si l’ensemble de ses valeurs est fini ou dénombrable ; continue si elle prend toutes les valeurs d’un intervalle.

Le nom est trompeur, et il faut le dire

Une variable aléatoire n’est ni une variable, ni aléatoire : c’est une fonction, et une fonction parfaitement déterminée.

Ce qui est aléatoire, c’est son argument — le résultat de l’expérience. Une fois ce résultat connu, X vaut ce qu’elle vaut, sans hasard.

La notation

Ce que signifie l’écriture entre accolades

\{X = k\} n’est pas une équation : c’est l’ensemble des résultats auxquels X attribue la valeur k.

P(X = k) = P\big(\{\omega \in \Omega \;:\; X(\omega) = k\}\big)

Sur deux lancers d’une pièce

\Omega = \{PP, PF, FP, FF\} et X compte les piles.

\{X = 0\} = \{FF\}, donc P(X = 0) = 1/4. \{X = 1\} = \{PF, FP\}, donc P(X = 1) = 2/4. \{X = 2\} = \{PP\}, donc P(X = 2) = 1/4.

Ce que le passage à X fait perdre — et gagner

On perd du détail, on gagne du calcul

\Omega comptait quatre éléments ; X n’en prend que trois valeurs. L’information « quel lancer a donné pile » a disparu.

C’est une perte volontaire : elle est le prix du résumé. Exactement comme, en statistique descriptive, passer des données brutes au tableau statistique perdait l’identité des individus.

Le choix de X est une décision de gestion

Sur un portefeuille de crédits, on peut définir :

  • X = le nombre de défauts ;
  • Y = le montant total perdu ;
  • Z = 1 si la perte dépasse un seuil, 0 sinon.

Trois variables sur la même expérience, trois questions différentes. Définir X, c’est décider ce que l’on veut mesurer.

Les variables du cours

Les trois qui reviendront partout

Trois définitions à retenir
Variable Définition Valeurs
Indicatrice 1 si l’événement a lieu, 0 sinon \{0,1\}
Comptage nombre de succès sur n épreuves \{0,\dots,n\}
Somme X = X_1 + \cdots + X_n selon les X_i

Les trois qui reviendront partout (suite)

Les trois n’en font qu’une

Une variable de comptage est la somme d’indicatrices :

X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

où X_i vaut 1 si la i-ième épreuve réussit. Cette décomposition, très simple, sera la clé de tous les calculs d’espérance du chapitre 10.

L’indicatrice, une variable à ne pas négliger

Un crédit isolé

X = 1 en cas de défaut, X = 0 sinon, avec P(X = 1) = p = 0{,}04.

E(X) = 0 \times 0{,}96 + 1 \times 0{,}04 = 0{,}04 = p

Le pont entre fréquence et probabilité, une dernière fois

Pour une indicatrice, l’espérance est exactement la probabilité.

C’est ce qui permettra, au chapitre 19, de dire que « la moyenne des observations tend vers l’espérance » et « la fréquence tend vers la probabilité » sont un seul et même théorème.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Cinq points
  1. Une variable aléatoire est une fonction qui numérote les résultats de l’expérience.
  2. Ce qui est aléatoire est son argument, pas elle.
  3. \{X = k\} désigne l’ensemble des résultats de valeur k ; P(X = k) en est la probabilité.
  4. Elle est discrète ou continue selon la nature de l’ensemble de ses valeurs.
  5. Une variable de comptage est une somme d’indicatrices — et l’espérance d’une indicatrice est p.
La suite

Nous savons attacher des nombres au hasard. Il faut maintenant les organiser : quelle valeur avec quelle probabilité ?

C’est la loi de probabilité, et c’est le tableau statistique du cours précédent, à l’identique. Chapitre 9.

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Ressources du chapitre