Probabilités
Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 14 : Étude de cas — un portefeuille de crédits
Le problème
Un chapitre sans notion nouvelle
Ce que fait ce chapitre
Rien de neuf n’y est introduit. Tout ce qui suit a été démontré aux chapitres 8 à 13.
Il s’agit de conduire un problème réel du début à la fin, et de montrer où chaque outil sert — parce que la difficulté d’un examen, comme d’un dossier professionnel, n’est jamais la formule mais l’enchaînement.
Les données
Une agence bancaire détient 200 crédits à la consommation, du même profil de risque.
- Probabilité de défaut annuelle de chaque crédit : p = 0{,}04.
- Perte en cas de défaut : 100\,000 dirhams par crédit.
- Les défauts sont supposés indépendants.
Question : combien la banque doit-elle mettre de côté ?
Étape 1 — Identifier la loi
Les trois questions du chapitre 12
La vérification
- Nombre d’épreuves fixé ? Oui : n = 200 crédits.
- Deux issues par épreuve ? Oui : défaut ou non.
- Indépendance et p constant ? Oui, par hypothèse — et c’est la seule hypothèse discutable.
Donc X \sim \mathcal{B}(200\,;0{,}04), où X est le nombre de défauts de l’année.
Le choix de X est déjà une décision
On aurait pu prendre Y = la perte en dirhams. Mais Y = 100\,000\,X : les deux variables ne diffèrent que d’un facteur.
Travailler sur le nombre de défauts est plus simple ; on convertira en dirhams à la fin. Choisir la variable la plus maniable est un réflexe de méthode.
Étape 2 — Les premiers moments
Espérance et écart-type
Le calcul
E(X) = np = 200 \times 0{,}04 = 8 \text{ défauts}
V(X) = np(1-p) = 200 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = 7{,}68
\sigma(X) = \sqrt{7{,}68} = 2{,}77 \text{ défauts}
La traduction en dirhams
Perte moyenne : 8 \times 100\,000 = 800\,000 dirhams. Écart-type de la perte : 2{,}77 \times 100\,000 = 277\,000 dirhams.
La perte moyenne est le coût du risque : elle se facture dans le taux d’intérêt. L’écart-type, lui, ne se facture pas — il se couvre.
La distinction fondatrice
Perte attendue et perte inattendue
| Notion | Grandeur | Traitement |
|---|---|---|
| Perte attendue | E(X) | provisionnée, incluse dans le prix |
| Perte inattendue | écarts autour de E(X) | couverte par des fonds propres |
Pourquoi deux traitements différents
Une perte que l’on attend n’est pas un risque : c’est un coût. On la facture au client, comme n’importe quelle charge.
Le risque, c’est l’écart à cette moyenne. Il ne peut pas se facturer — on ne sait pas à qui — il doit donc être absorbé par le capital de la banque.
Étape 3 — La distribution
La loi de X
Les probabilités qui intéressent le banquier
Quelques valeurs de la loi
| Événement | Probabilité |
|---|---|
| Aucun défaut | 0{,}0003 |
| Exactement 8 défauts | 0{,}1425 |
| 12 défauts ou plus | 0{,}1075 |
| 14 défauts ou plus | 0{,}0312 |
| 16 défauts ou plus | 0{,}0070 |
Ce que la première ligne apprend
Une année sans aucun défaut n’arrive que trois fois sur dix mille. Le zéro n’est pas un scénario.
Un directeur d’agence qui promettrait « aucun impayé cette année » ne ferait pas une promesse ambitieuse : il ferait une promesse impossible.
Étape 4 — Quantile et capital
La lecture inverse de la répartition
Le quantile à 99 pour cent
On cherche le plus petit k tel que F(k) \geq 0{,}99 :
F(14) = 0{,}9848 \qquad F(15) = 0{,}9930
Le quantile à 99\,\% est donc 15 défauts, soit 1\,500\,000 dirhams de perte.
Le capital réglementaire
\text{capital} = \underbrace{1\,500\,000}_{\text{perte à } 99\,\%} - \underbrace{800\,000}_{\text{perte attendue}} = 700\,000 \text{ dirhams}
La banque doit immobiliser 700\,000 dirhams de fonds propres pour tenir une mauvaise année sur cent. C’est exactement la logique — et presque le calcul — des accords de Bâle.
Changer de niveau de confiance
Au niveau de 99,9 pour cent
F(18) = 0{,}9995 : le quantile passe à 18 défauts, soit 1\,800\,000 dirhams.
\text{capital} = 1\,800\,000 - 800\,000 = 1\,000\,000 \text{ dirhams}
Trois défauts de plus coûtent 300 000 dirhams
Passer de « une mauvaise année sur cent » à « une sur mille » majore le capital de 43\,\%.
Le niveau de confiance n’est pas un détail technique : c’est un arbitrage entre sécurité et rentabilité, et c’est une décision de direction générale, pas de calcul.
Étape 5 — Contrôler le modèle
L’approximation de Poisson
La vérification
n = 200 \geq 30 et p = 0{,}04 \leq 0{,}1 : les conditions du chapitre 13 sont réunies, avec \lambda = np = 8.
P(X \geq 14) : \quad 0{,}0312 \text{ (binomiale)} \qquad 0{,}0342 \text{ (Poisson)}
Un écart de trois millièmes, sans aucune information sur n ni p séparément.
Toujours vérifier un résultat par une seconde voie
Deux méthodes indépendantes qui convergent : le résultat est fiable.
C’est le contrôle le moins coûteux et le plus efficace qui soit — en probabilités comme en comptabilité.
Ce que l’hypothèse d’indépendance cache
Le point faible de toute l’étude
Les 200 emprunteurs vivent dans la même ville, travaillent dans la même économie. Une récession les frappe ensemble.
Avec une corrélation même faible entre défauts, \sigma passerait de 2{,}8 à plus de 12, et le capital nécessaire serait multiplié par quatre. L’espérance, elle, resterait à 8.
La conclusion du cas
Le chiffre fragile de cette étude n’est ni 8, ni 2{,}77, ni 700\,000. C’est l’hypothèse d’indépendance qui les produit tous.
Un bon gestionnaire ne retient pas le résultat d’un modèle : il retient l’hypothèse dont il dépend le plus.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Identifier la loi, c’est répondre aux trois questions du chapitre 12.
- E(X) = np = 8 et \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = 2{,}77.
- Perte attendue : elle se provisionne et se facture. Perte inattendue : elle se couvre par du capital.
- Le capital est un quantile moins une moyenne : F^{-1}(0{,}99) - E(X).
- L’approximation de Poisson confirme le résultat avec un seul paramètre.
- Le résultat entier repose sur l’indépendance : c’est l’hypothèse à interroger en premier.
La suite
Le nombre de défauts se comptait. Un montant de perte, une durée, un taux de rendement ne se comptent pas : ils se mesurent, et prennent toutes les valeurs d’un intervalle.
La sixième partie franchit ce pas — et l’on verra que le passage au continu n’est rien d’autre qu’un histogramme dont on affine les classes.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)