Probabilités

La loi normale

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Chapitre 17 : La loi normale

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

La loi qui domine tout

La définition

Loi normale

X suit une loi normale — ou de Laplace-Gauss — d’espérance m et d’écart-type \sigma, notée X \sim \mathcal{N}(m\,;\sigma), si sa densité est

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\;\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2}

Cette formule ne sert jamais

On ne l’intègre pas — elle n’a pas de primitive élémentaire. On ne la calcule pas à la main.

Retenez-en une seule chose : elle ne dépend de x qu’à travers \dfrac{x-m}{\sigma}. C’est ce qui rendra une table unique suffisante.

La courbe et ses trois nombres

Ses propriétés

Cinq faits
  1. Elle est symétrique autour de m : mode, médiane et moyenne coïncident.
  2. m la déplace, \sigma la resserre ou l’étale ; la forme reste la même.
  3. Ses points d’inflexion sont en m - \sigma et m + \sigma.
  4. Son coefficient d’asymétrie est nul, son aplatissement vaut 3.
  5. Elle est définie sur \mathbb{R} tout entier, mais l’essentiel de son aire tient dans [m - 3\sigma\,;\,m + 3\sigma].
La règle des trois écarts-types

68\,\% \quad\text{---}\quad 95\,\% \quad\text{---}\quad 99{,}7\,\%

Ces trois nombres, appris une fois, permettent de juger n’importe quel écart de tête. Un résultat à plus de trois écarts-types de la moyenne n’arrive que trois fois sur mille : c’est presque toujours le signe d’une anomalie, non du hasard.

Une seule table pour toutes

La standardisation

L’opération

Centrer et réduire

Si X \sim \mathcal{N}(m\,;\sigma), alors

Z = \frac{X - m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0\,;1)

\mathcal{N}(0\,;1) est la loi normale centrée réduite, et sa fonction de répartition se note \Pi.

Pourquoi cela fonctionne

Retirer m translate la courbe sans la déformer. Diviser par \sigma change l’unité de mesure.

Aucune aire n’est modifiée : on a seulement remplacé les dirhams par des écarts-types. C’est un changement d’unité, pas un changement de loi.

Ce que z signifie

La cote z, déjà rencontrée

z = \frac{x - m}{\sigma} \quad\text{se lit : « à combien d'écarts-types de la moyenne »}

Un salaire, une note, un rendement

Un salaire de 9\,000 dirhams dans une population de moyenne 7\,158 et d’écart-type 1\,470 :

z = \frac{9\,000 - 7\,158}{1\,470} = 1{,}25

Ce salaire est à 1{,}25 écart-type au-dessus de la moyenne. Cette phrase est comparable d’une entreprise à l’autre, d’un pays à l’autre — le montant brut ne l’est pas.

Lire la table

Les quatre situations

Tout se ramène à une seule lecture
Question Formule
P(Z \leq z) \Pi(z), lecture directe
P(Z > z) 1 - \Pi(z)
P(Z \leq -z) 1 - \Pi(z)
P(a \leq Z \leq b) \Pi(b) - \Pi(a)
Le calcul complet sur les salaires

P(X > 9\,000) = P(Z > 1{,}25) = 1 - \Pi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056

Environ 10{,}6\,\% des salariés dépassent 9\,000 dirhams.

Les valeurs à connaître par cœur

Les quantiles usuels
\alpha z tel que \Pi(z) = \alpha Usage
0{,}90 1{,}282
0{,}95 1{,}645 seuil unilatéral à 5\,\%
0{,}975 1{,}960 intervalle bilatéral à 95\,\%
0{,}99 2{,}326 Value at Risk à 99\,\%
Le 1{,}96 que vous verrez partout

P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = 0{,}95

Tout intervalle de confiance à 95\,\% contient ce nombre. Il vient d’ici, et de nulle part ailleurs.

La normale au travail

Approximer la binomiale

Quand n est grand

Si X \sim \mathcal{B}(n\,;p) avec np \geq 5 et n(1-p) \geq 5, alors

X \;\approx\; \mathcal{N}\!\left(np\,;\sqrt{np(1-p)}\right)

Le portefeuille du chapitre 14

m = 8, \sigma = 2{,}77. Probabilité d’au moins 14 défauts :

z = \frac{13{,}5 - 8}{2{,}77} = 1{,}99 \qquad P(X \geq 14) \approx 1 - \Pi(1{,}99) = 0{,}0233

Valeur exacte : 0{,}0312. L’écart vient de ce que n n’est pas si grand, et p pas si proche de 0{,}5.

La correction de continuité

Pourquoi 13{,}5 et non 14

On remplace une loi discrète par une loi continue : les bâtons deviennent des rectangles de largeur 1, centrés sur les entiers.

Le rectangle du 14 commence donc à 13{,}5. Oublier cette correction fausse systématiquement le résultat, d’autant plus que n est petit.

Une approximation qui a fait son temps

Cette technique servait à éviter des calculs impossibles à la main. Aujourd’hui, R et Python donnent la binomiale exacte en une instruction.

Elle reste néanmoins à connaître : elle explique pourquoi les grands portefeuilles se comportent normalement, et cette raison, elle, ne périme pas.

Une propriété capitale

La somme de normales est normale

Si X \sim \mathcal{N}(m_1;\sigma_1) et Y \sim \mathcal{N}(m_2;\sigma_2) sont indépendantes, alors

X + Y \sim \mathcal{N}\!\left(m_1 + m_2\,;\,\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\right)

Ce que cela permet en finance

Un portefeuille est une somme de positions. Si les rendements sont normaux, le rendement du portefeuille l’est aussi — et son risque se calcule sans simulation.

C’est la raison technique pour laquelle l’hypothèse de normalité s’est imposée en gestion d’actifs. Ses limites — les rendements réels ont des queues plus épaisses — ont fait tout le sujet des cours de risques financiers.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Sept points
  1. \mathcal{N}(m\,;\sigma) est symétrique, en cloche, entièrement déterminée par deux paramètres.
  2. 68\,\%, 95\,\%, 99{,}7\,\% : la règle des trois écarts-types.
  3. Z = \dfrac{X-m}{\sigma} ramène toute normale à \mathcal{N}(0\,;1) : une seule table suffit.
  4. z se lit « à combien d’écarts-types de la moyenne » — c’est la cote z de la descriptive.
  5. La table ne donne que \Pi(z) ; symétrie et complément fournissent tout le reste.
  6. 1{,}645, 1{,}96, 2{,}326 : les trois quantiles à retenir.
  7. Une somme de normales indépendantes est normale.
La suite

Trois lois se déduisent de la normale par des opérations simples — carrés et rapports. Elles ne servent qu’aux tests statistiques, mais elles y sont indispensables.

Le chapitre 18 les présente, puis dresse la carte complète des lois du cours.

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