Probabilités

Permutations et arrangements

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Chapitre 3 : Permutations et arrangements

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Quand on ne remet pas

Le changement par rapport au chapitre 2

Une seule modification

Dans une liste, chaque position disposait des n objets. Ici, l’objet choisi disparaît : la position suivante n’en a plus que n-1, puis n-2.

Le produit ne s’écrit donc plus n \times n \times \cdots mais n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots

La factorielle

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1, \qquad \text{avec } 0! = 1

n 1 2 3 4 5 6 10
n! 1 2 6 24 120 720 3\,628\,800

Une croissance qu’il faut avoir vue

La factorielle explose

10! \approx 3{,}6 millions. 20! \approx 2{,}4 \times 10^{18}. 70! dépasse le nombre d’atomes de l’univers observable.

Deux conséquences pratiques : d’une part, il n’est jamais question d’énumérer ; d’autre part, il faut simplifier avant de calculer, jamais après.

La convention 0! = 1

Elle n’est pas arbitraire. Il existe exactement une façon de ranger zéro objet : ne rien faire.

Cette convention rend toutes les formules du chapitre valables sans cas particulier — c’est sa seule justification, et elle suffit.

Les permutations

Ranger tous les objets

Permutation

Une permutation de n objets est un rangement de tous ces objets dans un ordre déterminé. Leur nombre est

\boxed{\;P_n = n!\;}

Le raisonnement, étape par étape

Cinq personnes, cinq sièges alignés.

La première place peut recevoir 5 personnes ; la deuxième, 4 ; la troisième, 3 ; puis 2 ; puis 1.

5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ dispositions}

Deux usages en gestion

L’ordonnancement d’atelier

Sept tâches à ordonner sur une même machine : 7! = 5\,040 séquences possibles, chacune avec son coût.

Aucun logiciel n’explore les 5\,040 pour sept tâches — mais pour vingt tâches, 20! dépasse 2 \times 10^{18}. C’est la raison d’être des méthodes d’optimisation combinatoire : l’énumération est définitivement hors de portée.

Les anagrammes, ou le piège des répétitions

Le mot GESTION a 7 lettres distinctes : 7! = 5\,040 anagrammes.

Le mot GESTIONS en aurait 8! = 40\,320. Mais si une lettre était répétée, il faudrait diviser par la factorielle de son nombre de répétitions — sans quoi l’on compterait plusieurs fois le même mot.

Les arrangements

Ranger seulement une partie

Arrangement

Un arrangement de k objets parmi n est une sélection ordonnée de k objets, sans répétition. Leur nombre est

\boxed{\;A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}\;}

La formule se lit comme le calcul

Il y a exactement k facteurs, en partant de n et en descendant.

Le quotient n!/(n-k)! ne fait qu’écrire cela de façon compacte : le dénominateur supprime la queue du produit dont on n’a pas besoin.

Le podium

Douze concurrents, trois places

A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1\,320

L’ordre compte : le podium (Ali, Brahim, Chakib) n’est pas le podium (Brahim, Ali, Chakib). Et personne ne peut occuper deux places : le tirage est sans remise.

Ne jamais calculer les factorielles séparément

A_{12}^3 = \frac{12!}{9!} \qquad \text{mais } 12! = 479\,001\,600

Écrire les deux factorielles est inutile et hors de portée d’une calculatrice dès n = 70. Multipliez les k facteurs et arrêtez-vous : c’est plus rapide, plus sûr, et cela ne déborde jamais.

Deux cas particuliers utiles

Les bornes de la formule

A_n^n = \frac{n!}{0!} = n! \qquad\qquad A_n^1 = n \qquad\qquad A_n^0 = 1

Une permutation est donc un arrangement de tous les objets : les permutations ne sont pas une notion distincte, mais un cas particulier.

Un tirage de contrôle fiscal

Sur 50 dossiers, on en tire 4 que l’on soumet à quatre inspecteurs différents. Chaque dossier va à un inspecteur nommé : l’ordre compte.

A_{50}^4 = 50 \times 49 \times 48 \times 47 = 5\,527\,200

Une application probabiliste

Le problème des anniversaires

Vingt-trois personnes dans une salle

Quelle est la probabilité qu’au moins deux partagent leur date d’anniversaire ?

On passe par le contraire — « toutes les dates sont distinctes » — car il n’est constitué que d’un seul cas :

P(\text{tous distincts}) = \frac{A_{365}^{23}}{365^{23}} = \frac{365 \times 364 \times \cdots \times 343}{365^{23}} \approx 0{,}493

P(\text{au moins deux coïncident}) \approx 0{,}507

Le problème des anniversaires (suite)

Pourquoi tout le monde se trompe

On compare instinctivement 23 à 365, et l’on conclut que c’est peu. Mais ce ne sont pas les personnes qu’il faut compter : ce sont les paires.

\frac{23 \times 22}{2} = 253 \text{ paires}

Deux cent cinquante-trois occasions de coïncidence, non pas vingt-trois. L’intuition compare les mauvaises choses.

Ce n’est pas une curiosité de salon

Le même calcul dimensionne les collisions dans un fichier informatique, les doublons dans une base clients, les codes attribués au hasard dans un système de gestion.

Les coïncidences sont beaucoup plus fréquentes que l’intuition ne le croit — et un gestionnaire qui les tient pour improbables sous-estime systématiquement ses risques d’erreur.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Cinq points
  1. Sans remise, chaque tirage réduit le stock : le produit descend, n(n-1)(n-2)\cdots
  2. Permutation : ranger les n objets, P_n = n!
  3. Arrangement : ranger k objets parmi n, A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}, soit k facteurs descendants.
  4. Une permutation est un arrangement avec k = n.
  5. Passer par l’événement contraire est souvent le chemin le plus court.
La suite

Dans tout ce chapitre, l’ordre comptait. Or un comité de trois personnes, une main de cartes, un panier de titres n’ont pas d’ordre.

Le chapitre 4 traite ce dernier cas : les combinaisons. Elles sont, et de loin, l’outil le plus utilisé du cours.

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