Probabilités
Les lois dérivées et la carte des lois
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 18 : Les lois dérivées et la carte des lois
Trois lois fabriquées
Pourquoi elles existent
Elles ne décrivent aucun phénomène économique
Aucune grandeur de gestion ne suit une loi du khi-deux. Aucun rendement ne suit une loi de Fisher.
Ces lois ne servent qu’à une chose : décrire le comportement d’une quantité calculée sur un échantillon — une variance estimée, une moyenne estimée, un rapport de variances. C’est-à-dire à faire des tests.
Elles sont toutes filles de la normale
\chi^2_k = Z_1^2 + \cdots + Z_k^2 \qquad T_\nu = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_\nu / \nu}} \qquad F(d_1;d_2) = \frac{\chi^2_{d_1}/d_1}{\chi^2_{d_2}/d_2}
où les Z_i sont des \mathcal{N}(0\,;1) indépendantes.
Les trois allures
Le khi-deux
Loi du khi-deux
\chi^2_k est la loi d’une somme de k carrés de normales centrées réduites indépendantes. Le nombre k s’appelle le degré de liberté.
E(\chi^2_k) = k \qquad V(\chi^2_k) = 2k
Deux conséquences visibles sur la courbe
Elle est positive : une somme de carrés ne peut pas être négative.
Elle est dissymétrique à droite, et d’autant moins que k grandit — encore le théorème central limite, puisqu’il s’agit d’une somme.
Le khi-deux au travail
Deux tests que vous rencontrerez
Test d’indépendance : dans un tableau de contingence, on compare les effectifs observés aux effectifs attendus sous indépendance. La somme des écarts au carré suit un khi-deux.
Test d’adéquation : on vérifie qu’une distribution observée est compatible avec une loi théorique — par exemple qu’un dé n’est pas truqué.
Le mot « carré » est la clé
Chaque fois qu’un test additionne des écarts au carré, un khi-deux apparaît. C’est un signe qu’on peut reconnaître sans rien connaître du test.
La loi de Student
Loi de Student
T_\nu est le rapport d’une \mathcal{N}(0\,;1) à la racine d’un khi-deux réduit, indépendants.
Elle est symétrique, centrée, en cloche — mais à queues plus épaisses que la normale. Elle tend vers \mathcal{N}(0\,;1) quand \nu \to \infty.
D’où viennent ces queues épaisses
Quand on teste une moyenne, on ne connaît pas \sigma : on l’estime. Cette estimation est elle-même incertaine.
Student est la normale corrigée de l’incertitude sur \sigma. Ses queues plus lourdes ne sont rien d’autre que le prix de cette ignorance — et ce prix diminue à mesure que l’échantillon grandit.
La loi de Student, en pratique
La règle des trente
Au-delà de \nu = 30, Student et la normale sont indiscernables en pratique.
C’est l’origine de la fameuse distinction « petit échantillon / grand échantillon » — elle n’a pas d’autre fondement.
Une seconde vie en finance
Les rendements boursiers ont des queues bien plus épaisses que la normale : les krachs sont trop fréquents pour une loi de Gauss.
On les modélise donc souvent par une loi de Student à faible degré de liberté. La loi inventée pour les petits échantillons sert aujourd’hui à mesurer le risque extrême.
La loi de Fisher
Loi de Fisher-Snedecor
F(d_1;d_2) est le rapport de deux khi-deux, chacun divisé par son degré de liberté.
Elle est positive et dissymétrique à droite, avec deux degrés de liberté — un pour chaque variance comparée.
Où on la rencontre
Elle compare deux variances. D’où sa présence systématique dans :
- l’analyse de la variance, qui compare la dispersion entre groupes à celle à l’intérieur des groupes ;
- le test de significativité globale d’une régression, où le fameux « F de Fisher » compare la variance expliquée à la variance résiduelle.
Si un logiciel d’économétrie affiche un F, c’est de cette loi qu’il s’agit.
La carte du cours
Toutes les lois, et leurs liens
Comment se servir de la carte
Trois questions devant un énoncé
- Que compte-t-on ? Des occurrences dénombrables, ou une mesure continue ?
- Combien de fois ? Une seule épreuve, un nombre fixé, ou une attente ?
- Les épreuves sont-elles indépendantes, et p constant ?
Les réponses désignent une loi. Chercher directement une formule, sans passer par ces trois questions, est la source de la plupart des erreurs.
Deux lois seulement, et six conséquences
Tout part de l’épreuve à deux issues et de l’absence de préférence. Les flèches de la carte sont des passages à la limite ou des changements de question.
Il n’y a donc pas dix lois à mémoriser : il y a deux idées et six dérivations.
Le tableau de synthèse
Les lois discrètes
| Loi | Question | E(X) | V(X) |
|---|---|---|---|
| Bernoulli \mathcal{B}(p) | succès ou échec | p | p(1-p) |
| Binomiale \mathcal{B}(n;p) | combien de succès sur n | np | np(1-p) |
| Géométrique | rang du premier succès | 1/p | (1-p)/p^2 |
| Poisson \mathcal{P}(\lambda) | combien d’événements rares | \lambda | \lambda |
Le tableau de synthèse (suite)
Les lois continues
| Loi | Question | E(X) | V(X) |
|---|---|---|---|
| Uniforme \mathcal{U}[a;b] | aucune valeur privilégiée | \frac{a+b}{2} | \frac{(b-a)^2}{12} |
| Exponentielle | délai avant l’événement | 1/\lambda | 1/\lambda^2 |
| Normale \mathcal{N}(m;\sigma) | somme de nombreuses causes | m | \sigma^2 |
Le conseil de révision
Ne mémorisez pas ce tableau ligne à ligne. Retenez la question de chaque loi ; les deux moments se retrouvent ensuite, et se vérifient sur un cas simple.
Une formule oubliée se reconstruit ; une loi mal identifiée ne se rattrape pas.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Khi-deux, Student et Fisher sont fabriquées à partir de la normale ; elles ne décrivent aucun phénomène économique.
- \chi^2_k est une somme de carrés : positive, dissymétrique, E = k et V = 2k.
- Student est la normale corrigée de l’incertitude sur \sigma ; ses queues sont plus épaisses, et elle rejoint la normale au-delà de \nu = 30.
- Fisher est un rapport de variances : analyse de la variance et tests de régression.
- La carte des lois se parcourt avec trois questions, jamais avec une formule.
- Deux lois fondatrices — Bernoulli et uniforme — et six dérivations : c’est tout le programme.
La suite
Le cours a commencé en observant que la fréquence se stabilise. Il n’a jamais démontré pourquoi.
La septième et dernière partie le fait : la loi des grands nombres justifie l’estimation, le théorème central limite explique l’omniprésence de la cloche.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)