Probabilités
Le théorème central limite
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 20 : Le théorème central limite
Autour de la limite
La question qui reste
Converger ne suffit pas
La loi des grands nombres dit que \overline{X}_n s’approche de m. Elle ne dit pas comment les valeurs se répartissent autour de m.
Or c’est précisément ce qu’il faut pour construire un intervalle, tester une hypothèse, calculer un risque. Sans la forme de la distribution, la convergence est inexploitable.
La réponse, et sa surprise
La distribution de \overline{X}_n tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de départ.
Cette dernière précision est le cœur du théorème : la loi des X_i peut être n’importe laquelle — discrète, dissymétrique, bornée, sans aucune ressemblance avec une cloche.
Le théorème
L’énoncé
Théorème central limite
Soit X_1, \dots, X_n indépendantes, de même loi, d’espérance m et d’écart-type \sigma finis. Alors, quand n grandit :
\overline{X}_n \;\approx\; \mathcal{N}\!\left(m\,;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
soit, sous forme standardisée :
Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma/\sqrt{n}} \;\longrightarrow\; \mathcal{N}(0\,;1)
Aucune hypothèse sur la loi de départ
Le théorème ne demande que trois choses : indépendance, loi commune, variance finie.
Il ne demande rien sur la forme de cette loi. C’est ce qui en fait le théorème le plus utilisé de toute la statistique.
Un dé n’a rien d’une cloche
Ce que la figure démontre
Deux phénomènes simultanés
- La forme devient normale : c’est le théorème central limite.
- L’étalement se resserre en \sigma/\sqrt{n} : c’est la loi des grands nombres.
Les deux théorèmes se lisent sur la même série de vignettes.
La vitesse de convergence
Une loi de départ symétrique — comme le dé — converge très vite : dès n = 5 l’ajustement est bon.
Une loi très dissymétrique demande davantage. La règle usuelle est n \geq 30, et elle est prudente pour la plupart des cas rencontrés en gestion.
Pourquoi la cloche est partout
L’explication du chapitre 17
Le mécanisme
Une grandeur qui résulte de l’addition de nombreuses causes indépendantes, aucune n’étant prépondérante, suit approximativement une loi normale.
Ce n’est pas une observation empirique : c’est une conséquence du théorème.
Quatre exemples
- Une taille additionne des dizaines de facteurs génétiques et nutritionnels.
- Une erreur de mesure additionne de multiples imprécisions indépendantes.
- Un rendement mensuel additionne des variations quotidiennes.
- Le nombre de défauts d’un portefeuille additionne des indicatrices : c’est une binomiale, donc une somme.
Et pourquoi elle n’est pas toujours là
Trois conditions, trois façons d’échouer
- Les causes se multiplient au lieu de s’additionner : on obtient une loi log-normale, pas une normale.
- Une cause domine toutes les autres : la somme lui ressemble, non à une cloche.
- Les causes sont dépendantes : en cas de krach, tout baisse ensemble, et la somme a des queues bien plus épaisses.
Le point aveugle de la finance
Les rendements boursiers ne sont pas normaux : les krachs sont bien trop fréquents pour une loi de Gauss.
Un mouvement à -5 écarts-types devrait survenir une fois tous les sept mille ans. Il en est survenu plusieurs en un siècle. La cause : les dépendances, précisément ce que le théorème exclut.
Les usages
L’intervalle de confiance
La construction
Puisque \overline{X}_n \approx \mathcal{N}(m\,;\sigma/\sqrt{n}) et que P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = 0{,}95 :
P\!\left(\overline{X}_n - 1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\leq\; m \;\leq\; \overline{X}_n + 1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95
Un sondage
Sur 1\,000 personnes, 52\,\% déclarent une intention favorable. Pour une proportion, \sigma = \sqrt{p(1-p)} \approx 0{,}5.
0{,}52 \;\pm\; 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{1\,000}} = 0{,}52 \pm 0{,}031
L’intervalle [0{,}489\,;0{,}551] contient 0{,}50 : le résultat ne permet pas de conclure à une majorité.
D’où vient la marge d’erreur des sondages
Le fameux « plus ou moins trois points »
1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{1\,000}} = 0{,}031
Il n’y a aucun mystère : trois points, c’est 1{,}96 fois un demi divisé par la racine de mille. Le chiffre annoncé à la télévision se recalcule en une ligne.
Ce que la marge ne couvre pas
Elle ne mesure que l’aléa d’échantillonnage. Elle ignore les refus de répondre, les questions mal posées, les déclarations inexactes.
L’erreur statistique est souvent la plus petite des erreurs d’une enquête — et c’est pourtant la seule que l’on publie.
Le retour du portefeuille
Les 200 crédits, une dernière fois
X \sim \mathcal{B}(200\,;0{,}04) est une somme de 200 indicatrices indépendantes : le théorème s’applique.
X \approx \mathcal{N}(8\,;2{,}77) \qquad\text{et}\qquad q_{0{,}99} = 8 + 2{,}326 \times 2{,}77 = 14{,}4
Valeur exacte au chapitre 14 : 15 défauts. L’approximation est un peu optimiste, mais du bon ordre de grandeur.
Pourquoi les modèles de risque l’utilisent
Un portefeuille réel compte des dizaines de milliers de lignes. Calculer la loi exacte serait long ; l’approximation normale donne le quantile en une formule.
\text{VaR}_{99\%} = m + 2{,}326\,\sigma
Toute la Value at Risk paramétrique tient dans cette ligne — et dans l’hypothèse d’indépendance qui la soutient.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Sept points
- Théorème central limite : \overline{X}_n \approx \mathcal{N}(m\,;\sigma/\sqrt{n}), quelle que soit la loi de départ.
- Trois hypothèses seulement : indépendance, loi commune, variance finie.
- Deux effets simultanés : la forme devient normale, l’étalement se resserre en 1/\sqrt{n}.
- En pratique, n \geq 30 suffit ; moins si la loi de départ est symétrique.
- Il explique l’omniprésence de la loi normale : une somme de causes indépendantes.
- Il échoue si les causes se multiplient, si l’une domine, ou si elles sont dépendantes.
- Intervalles de confiance et Value at Risk paramétrique en découlent directement.
La suite
Le cours théorique est achevé : de la fréquence observée à la fréquence expliquée, la boucle est complète.
Le chapitre 21 met tout cela en œuvre sur machine — les lois, les quantiles, les simulations et les deux théorèmes, en quelques lignes de R et de Python.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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- QCM (bientôt)