Probabilités
Le vocabulaire du hasard
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 1 : Le vocabulaire du hasard
Décrire une expérience
Pourquoi un vocabulaire
Un chapitre court, mais qui décide de tout
Les erreurs de probabilité sont rarement des erreurs de calcul. Ce sont presque toujours des erreurs de description : on a mal listé ce qui pouvait arriver.
Trois mots suffisent à éviter la plupart d’entre elles : expérience, univers, événement. Ce chapitre les pose, et rien de plus.
Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une opération dont on connaît à l’avance tous les résultats possibles, mais pas celui qui se produira.
Deux conditions donc : la liste est connue, le tirage ne l’est pas.
L’univers
Univers
L’univers, noté \Omega, est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience. Chacun de ses éléments est une éventualité.
Quatre univers
| Expérience | Univers \Omega | Taille |
|---|---|---|
| Lancer un dé | \{1,2,3,4,5,6\} | 6 |
| Lancer deux dés | \{(1,1),(1,2),\dots,(6,6)\} | 36 |
| Un crédit | \{\text{sain},\ \text{défaut}\} | 2 |
| Durée de vie d’une machine | [0 ; +\infty[ | infini |
L’univers (suite)
Le choix de l’univers n’est pas neutre
Pour deux dés, on peut décrire le résultat par le couple (3,5) ou par la somme 8. Les deux descriptions sont légitimes, mais elles ne donnent pas les mêmes probabilités.
Avec les couples, les 36 issues sont équiprobables. Avec les sommes, elles ne le sont pas : 7 s’obtient de six façons, 12 d’une seule.
La règle de méthode à retenir
Choisissez toujours l’univers dans lequel les issues sont équiprobables, quitte à ce qu’il soit plus grand. C’est le seul où la règle de Laplace s’applique.
Le célèbre problème de d’Alembert — qui croyait P(\text{au moins un pile en deux lancers}) = 2/3 — vient exclusivement de cette erreur.
Les événements
Ce qu’est un événement
Événement
Un événement est une partie de l’univers : un sous-ensemble d’éventualités.
On dit qu’un événement est réalisé lorsque le résultat de l’expérience lui appartient.
Sur le dé
| Énoncé | Événement | Cardinal |
|---|---|---|
| « obtenir un 6 » | \{6\} | 1 |
| « obtenir un nombre pair » | \{2,4,6\} | 3 |
| « obtenir au moins 5 » | \{5,6\} | 2 |
| « obtenir un nombre \leq 6 » | \Omega | 6 |
| « obtenir un 7 » | \varnothing | 0 |
Deux événements particuliers
Les bornes
L’univers \Omega est l’événement certain : il est toujours réalisé.
L’ensemble vide \varnothing est l’événement impossible : il ne l’est jamais.
Un événement réduit à une seule éventualité est dit élémentaire.
Traduire avant de calculer
La difficulté d’un exercice de probabilité est presque toujours dans la traduction de l’énoncé en ensemble.
« Au moins un », « au plus deux », « aucun », « exactement trois » : chacune de ces formules désigne une partie précise de \Omega. Écrivez-la avant de chercher une formule.
Les opérations
Les trois opérations, et rien d’autre
Le dictionnaire logique
Du français aux ensembles
| Français | Ensemble | Se lit |
|---|---|---|
| A et B | A \cap B | les deux sont réalisés |
| A ou B | A \cup B | l’un au moins l’est |
| non A | \overline{A} | A n’est pas réalisé |
| A implique B | A \subset B | si A l’est, B l’est aussi |
Le dictionnaire logique (suite)
Le « ou » des mathématiques est inclusif
« A ou B » est réalisé lorsque A seul l’est, lorsque B seul l’est, et lorsque les deux le sont.
Le langage courant emploie souvent un « ou » exclusif — « fromage ou dessert » — qui exclut le cas double. Ce n’est pas celui de A \cup B.
Vérification sur le dé
A = \{2,4,6\} (pair), B = \{5,6\} (au moins 5).
A \cap B = \{6\}, \;A \cup B = \{2,4,5,6\}, \;\overline{A} = \{1,3,5\}.
Incompatibilité
Événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles — ou disjoints — lorsqu’ils ne peuvent pas se produire ensemble :
A \cap B = \varnothing
Le piège le plus fréquent du cours
Incompatible n’est pas indépendant. Ce sont deux notions opposées, et les confondre coûte cher.
Deux événements incompatibles sont au contraire fortement liés : si l’un se produit, l’autre est certainement exclu. L’indépendance, définie au chapitre 6, dit exactement le contraire — l’un n’apprend rien sur l’autre.
Le système complet
Partition de l’univers
Des événements B_1, B_2, \dots, B_k forment un système complet — ou une partition — lorsque :
- ils sont deux à deux incompatibles ;
- leur réunion est l’univers entier.
Trois exemples
Sur le dé : \{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}.
Le couple le plus utile de tous : A et \overline{A} — deux événements forment toujours une partition.
En gestion : la segmentation d’une clientèle en catégories de risque faible, moyen, élevé.
Le système complet (suite)
À quoi cela sert
Une partition découpe un problème en cas exhaustifs et sans recouvrement. C’est la structure de raisonnement la plus rentable du cours : au chapitre 6, elle donnera la formule des probabilités totales ; au chapitre 7, celle de Bayes.
« Traiter cas par cas, puis rassembler » n’est pas une astuce d’exercice : c’est un théorème.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Une expérience aléatoire a des résultats connus à l’avance, mais imprévisibles individuellement.
- L’univers \Omega est la liste de ces résultats ; le choisir équiprobable est la première décision de tout exercice.
- Un événement est une partie de \Omega ; traduire l’énoncé en ensemble précède tout calcul.
- « Et », « ou », « non » sont l’intersection, la réunion, le complémentaire — le « ou » étant inclusif.
- Incompatible (A \cap B = \varnothing) n’est pas indépendant : c’est même le contraire.
La suite
Le vocabulaire est en place, et la règle de Laplace attend son dû : cas favorables sur cas possibles.
Reste à savoir compter ces cas quand ils se chiffrent en milliers. C’est le dénombrement, et c’est l’objet des trois chapitres suivants.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)