Probabilités
L’espérance mathématique
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 10 : L’espérance mathématique
La moyenne, sous un autre nom
Le remplacement, effectué
Espérance mathématique
\overline{x} = \sum_i f_i\,x_i \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;E(X) = \sum_i p_i\,x_i\;}
L’espérance de X est la moyenne de ses valeurs, pondérées par leurs probabilités.
Un nom malheureux
« Espérance » ne veut pas dire ce que l’on espère. Le mot vient des jeux de hasard du XVIIe siècle, où il désignait le gain moyen d’un joueur.
Lisez-le partout comme « moyenne à long terme » : c’est le sens exact, et il évite tous les contresens.
L’espérance est un point d’équilibre
Le calcul, sur trois exemples
Trois espérances
Le dé : E(X) = \frac16(1+2+3+4+5+6) = 3{,}5.
Une indicatrice de défaut (p = 0{,}04) : E(X) = 0(0{,}96) + 1(0{,}04) = 0{,}04.
Les sinistres du chapitre 9 : E(X) = 0(0{,}80) + 1(0{,}15) + 2(0{,}04) + 3(0{,}01) = 0{,}26
Deux remarques sur ces résultats
3{,}5 n’est pas une face ; 0{,}26 n’est pas un nombre de sinistres. Une espérance n’a pas à être une valeur possible.
Elle mesure ce qui se produirait en moyenne sur un très grand nombre de répétitions — jamais ce qui se produira la prochaine fois.
Les propriétés
La linéarité
La propriété la plus utile du cours
E(aX + b) = a\,E(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad \textbf{toujours}
Le mot « toujours » est à souligner
L’espérance d’une somme est la somme des espérances même si les variables sont dépendantes. Aucune hypothèse n’est requise.
C’est un cas unique : nous verrons au chapitre 11 que la variance, elle, exige l’indépendance. Retenez ce contraste, il évite la moitié des erreurs d’examen.
Ce que la linéarité permet
Le portefeuille de 200 crédits, calculé en une ligne
X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{200}, où X_i vaut 1 en cas de défaut du i-ième crédit.
E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_{200}) = 200 \times 0{,}04 = 8
Mesurez l’économie
La loi de X compte 201 valeurs, chacune avec une probabilité à calculer par la formule binomiale. La somme \sum_k k\,P(X=k) serait interminable.
La décomposition en indicatrices donne le résultat sans connaître la loi. C’est la raison d’être du chapitre 8.
L’espérance d’une fonction de X
Théorème du transfert
E\big[g(X)\big] = \sum_i p_i\,g(x_i)
On applique g aux valeurs, jamais aux probabilités.
Le piège à connaître
E\big[g(X)\big] \neq g\big[E(X)\big] \qquad \text{en général}
Pour le dé : E(X^2) = \frac16(1+4+9+16+25+36) = 15{,}17, tandis que \big[E(X)\big]^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25.
L’écart de 2{,}92 n’est pas une erreur : c’est exactement la variance, que le chapitre 11 définira.
Pourquoi cet écart compte en gestion
L’inégalité de Jensen, sans les mathématiques
Si g est convexe — un coût qui s’emballe, une pénalité de retard, une perte qui s’accélère — alors
E\big[g(X)\big] \;\geq\; g\big[E(X)\big]
Le coût moyen d’une demande fluctuante dépasse le coût de la demande moyenne. Un dimensionnement fondé sur la moyenne sous-estime donc systématiquement le coût réel.
Un cas concret
Une pénalité de retard croît comme le carré du retard. Un fournisseur livre avec 0 ou 4 jours de retard, une fois sur deux.
Retard moyen : 2 jours, soit une pénalité apparente de 4. Pénalité moyenne réelle : \frac12(0) + \frac12(16) = 8. Le double.
L’espérance et la décision
Le jeu équitable
Trois qualifications
Un jeu de gain G est dit équitable si E(G) = 0, favorable si E(G) > 0, défavorable si E(G) < 0.
La roulette
Une roulette européenne compte 37 cases. Miser 1 dirham sur un numéro rapporte 35 dirhams.
E(G) = \frac{1}{37}(35) + \frac{36}{37}(-1) = \frac{35 - 36}{37} = -0{,}027
Le joueur perd en moyenne 2{,}7 centimes par dirham misé. Le casino ne triche pas : il n’en a pas besoin.
Les limites du critère
L’espérance ne dit pas tout
Deux placements de même espérance E = 5\,\% : l’un rapporte 5\,\% à coup sûr, l’autre +50\,\% ou -40\,\% selon l’année.
Aucun gestionnaire ne les tient pour équivalents. L’espérance ignore complètement le risque.
C’est pourquoi le chapitre 11 existe
Décider sur la seule espérance conduirait à accepter n’importe quelle loterie de gain moyen positif, y compris ruineuse.
Il faut un second indicateur, mesurant la dispersion autour de E(X). C’est la variance — et, en finance, la totalité de la théorie du portefeuille se joue dans le couple espérance–variance.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- E(X) = \sum_i p_i x_i : la moyenne arithmétique où f_i est devenu p_i.
- Lire « espérance » comme moyenne à long terme ; ce n’est pas une valeur attendue au prochain tirage.
- Linéarité : E(aX+b) = aE(X)+b et E(X+Y) = E(X)+E(Y), sans aucune condition.
- La décomposition en indicatrices donne E(X) sans calculer la loi.
- Transfert : E[g(X)] = \sum_i p_i\,g(x_i), et en général E[g(X)] \neq g[E(X)].
- L’espérance ignore le risque : elle ne suffit à aucune décision.
La suite
Le chapitre 11 apporte le second indicateur — la variance — et montre, une dernière fois, que sa formule est celle de la statistique descriptive.
Il traitera aussi les couples de variables aléatoires : loi jointe, marges, conditionnelles et covariance.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)