Probabilités

Bernoulli et la loi binomiale

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Chapitre 12 : Bernoulli et la loi binomiale

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

L’épreuve élémentaire

Pourquoi des lois nommées

Les mêmes situations reviennent sans cesse

Un crédit fait défaut ou non. Une pièce est conforme ou non. Un client achète ou non. Un candidat réussit ou non.

Ces situations ont la même structure. Plutôt que de refaire chaque fois le calcul, on la nomme une fois, on établit ses formules, et on les réutilise.

Loi de Bernoulli

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si elle ne prend que deux valeurs :

P(X = 1) = p \qquad P(X = 0) = 1 - p

On note X \sim \mathcal{B}(p). La valeur 1 s’appelle succès — sans jugement de valeur : pour un banquier, le « succès » est un défaut.

Ses deux moments

Espérance et variance

E(X) = p \qquad\qquad V(X) = p(1-p)

La démonstration, en deux lignes

E(X) = 0(1-p) + 1(p) = p

E(X^2) = 0^2(1-p) + 1^2(p) = p \quad\text{donc}\quad V(X) = p - p^2 = p(1-p)

Le point clé : X^2 = X puisque 0^2 = 0 et 1^2 = 1.

La variance est maximale au milieu

Un résultat qu’il faut savoir lire

V(X) = p(1-p) vaut 0 en p=0 et en p=1, et son maximum est en p = 0{,}5, où elle vaut 0{,}25.

Le maximum d’incertitude est à égalité de chances. Un événement quasi certain ou quasi impossible ne comporte presque aucun risque : on sait ce qui va se passer.

La conséquence pour un modèle de score

Un modèle qui attribue à un dossier une probabilité de défaut de 0{,}5 n’apporte aucune information : c’est le cas le plus incertain de tous.

Un bon modèle repousse les dossiers vers les extrêmes. C’est exactement ce que mesurent les indicateurs de discrimination utilisés en scoring.

Répéter l’épreuve

De l’arbre à la formule

La loi binomiale

Loi binomiale

X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée X \sim \mathcal{B}(n\,;p), si elle compte le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n

La formule se lit en deux morceaux

p^k(1-p)^{n-k} est la probabilité d’un chemin précis comportant k succès : on multiplie le long du chemin, ce qui n’est licite que grâce à l’indépendance.

\binom{n}{k} compte combien de chemins conviennent : c’est le dénombrement du chapitre 4, et l’ordre n’y compte pas puisque seul le total importe.

Les trois conditions à vérifier

Sans elles, la formule est fausse
  1. Un nombre fixé d’épreuves : n est connu à l’avance.
  2. Deux issues seulement par épreuve.
  3. Épreuves indépendantes et de probabilité p constante.
Trois énoncés à trier
Situation Binomiale ?
200 crédits indépendants, p = 0{,}04 oui
Tirage de 5 boules sans remise dans une urne non : p change
On lance jusqu’au premier six non : n n’est pas fixé

Ses moments

Espérance et variance

E(X) = np \qquad\qquad V(X) = np(1-p) \qquad\qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Obtenues sans aucun calcul

X = X_1 + \cdots + X_n, somme de n indicatrices de paramètre p.

L’espérance est toujours additive : E(X) = np. Les variances s’additionnent parce que les épreuves sont indépendantes : V(X) = np(1-p).

C’est tout le chapitre 11 qui travaille ici — et c’est la démonstration la plus courte du cours.

Trois allures selon les paramètres

Comment la loi se déforme

Le rôle de chaque paramètre

p commande la forme : symétrique si p = 0{,}5, étirée à droite si p est petit, à gauche s’il est grand.

n commande la régularité : plus n est grand, plus la loi ressemble à une cloche.

Ce que la troisième vignette annonce

À n = 30, la binomiale a déjà l’allure d’une loi normale. Ce n’est pas une coïncidence graphique.

Une binomiale est une somme de n variables indépendantes. Le théorème central limite (chapitre 20) s’applique donc directement, et l’approximation normale de la binomiale en sera le premier usage.

La binomiale au travail

Un contrôle de conformité

Une chaîne de production

Une machine produit 3\,\% de pièces défectueuses. On prélève 20 pièces.

P(X = 0) = (0{,}97)^{20} = 0{,}544

P(X = 1) = \binom{20}{1}(0{,}03)(0{,}97)^{19} = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}561 = 0{,}336

P(X \geq 2) = 1 - 0{,}544 - 0{,}336 = 0{,}120

La règle de décision

Si l’on refuse le lot dès deux défauts, on rejette à tort 12\,\% des lots pourtant conformes.

C’est le risque du fournisseur, et il se calcule avant de rédiger le contrat, non après le premier litige.

Les valeurs les plus probables

Le mode

Le mode d’une binomiale est l’entier situé juste en dessous de (n+1)p.

Pour n = 200 et p = 0{,}04 : (n+1)p = 8{,}04, donc le mode est 8.

Mode, moyenne, médiane

Ici les trois coïncident presque : 8. Quand p est petit et n modeste, ils s’écartent — la loi est dissymétrique.

C’est la même lecture qu’en statistique descriptive : l’écart entre moyenne et mode mesure l’asymétrie.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. Bernoulli : deux issues, E(X) = p, V(X) = p(1-p), maximale en p = 0{,}5.
  2. Binomiale : n épreuves indépendantes, P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
  3. La formule se lit : combien de chemins \times poids d’un chemin.
  4. Trois conditions : n fixé, deux issues, indépendance avec p constant.
  5. E(X) = np et V(X) = np(1-p), obtenues par décomposition en indicatrices.
  6. Pour n grand, la binomiale prend l’allure d’une cloche.
La suite

Deux questions échappent encore à la binomiale.

Combien de temps avant le premier succès ? — le nombre d’épreuves n’est pas fixé. Combien d’événements rares dans une période ? — n est immense et p minuscule.

Ce sont la loi géométrique et la loi de Poisson, au chapitre 13.

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Ressources du chapitre