Probabilités
Les axiomes et les premières règles
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 5 : Les axiomes et les premières règles
Ce qu’est une probabilité
Trois axiomes, et tout le reste s’en déduit
Les axiomes de Kolmogorov
Une probabilité est une application P qui associe à chaque événement un nombre, et qui vérifie :
- P(A) \geq 0 pour tout événement A ;
- P(\Omega) = 1 ;
- si A et B sont incompatibles, alors P(A \cup B) = P(A) + P(B).
Ce sont les propriétés des fréquences
Une fréquence est positive ; les fréquences somment à 1 ; et l’effectif de deux modalités disjointes est la somme des effectifs.
Kolmogorov n’a rien inventé : il a écrit les trois propriétés que la fréquence possède déjà, et décrété qu’elles définissaient la probabilité. C’est cela, axiomatiser.
Les conséquences immédiates
Cinq règles, toutes déduites des axiomes
| Règle | Énoncé |
|---|---|
| Complémentaire | P(\overline{A}) = 1 - P(A) |
| Impossible | P(\varnothing) = 0 |
| Encadrement | 0 \leq P(A) \leq 1 |
| Croissance | si A \subset B alors P(A) \leq P(B) |
| Différence | P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) |
Les conséquences immédiates (suite)
La règle du complémentaire est la plus rentable du cours
« Au moins un », « pas tous », « au moins deux » : ces énoncés recouvrent des dizaines de cas, alors que leur contraire n’en recouvre souvent qu’un.
P(\text{au moins un défaut}) = 1 - P(\text{aucun défaut})
Réflexe : dès qu’un énoncé contient « au moins », calculez le contraire.
Sur le portefeuille de crédits
Dix crédits indépendants, chacun de probabilité de défaut 0{,}04.
P(\text{au moins un défaut}) = 1 - (0{,}96)^{10} = 1 - 0{,}665 = 0{,}335
Un tiers des années comportent au moins un défaut. Le calcul direct aurait exigé dix termes.
La règle d’addition
Quand les événements se recouvrent
Formule générale de l’addition
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
Le troisième axiome n’en est que le cas particulier où A \cap B = \varnothing.
Pourquoi retrancher
En additionnant P(A) et P(B), on a compté deux fois ce qui appartient aux deux. On retire une fois le doublon.
C’est le principe d’inclusion-exclusion, et c’est exactement le raisonnement d’un comptable qui élimine un double emploi.
Un exemple complet
Une clientèle bancaire
60\,\% des clients détiennent un compte d’épargne (A), 35\,\% un crédit (B), et 20\,\% les deux.
P(A \cup B) = 0{,}60 + 0{,}35 - 0{,}20 = 0{,}75
Trois clients sur quatre détiennent au moins l’un des deux produits.
La lecture commerciale
P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 : un quart de la clientèle ne détient aucun des deux produits.
C’est précisément la cible d’une campagne d’équipement — et ce chiffre, qu’aucune addition naïve ne donne, sort d’une seule ligne de calcul.
Une erreur qui coûte cher
Ne jamais additionner sans vérifier l’incompatibilité
P(A) + P(B) = 0{,}95 \qquad \text{alors que} \qquad P(A \cup B) = 0{,}75
Une probabilité surestimée de vingt points. Et si les deux pourcentages avaient été 70\,\% et 50\,\%, l’addition aurait donné 1{,}20 — un résultat impossible qui aurait au moins alerté.
La somme dépasse 1 : c’est le signe qu’on a oublié l’intersection.
La règle de Laplace
L’équiprobabilité
Le cas des issues également probables
Si l’univers \Omega compte N éventualités équiprobables, alors pour tout événement A :
P(A) = \frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)} = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}
C’est ici que le dénombrement paie
Les trois chapitres précédents n’avaient pas d’autre but : fournir \mathrm{card}(A) et \mathrm{card}(\Omega).
Toute la difficulté d’un exercice de ce type est de choisir la bonne case du tableau du chapitre 4 — le calcul, lui, est une division.
Un exercice complet
Un jury tiré au sort
Un jury de 4 personnes est tiré parmi 7 femmes et 5 hommes. Quelle est la probabilité qu’il soit mixte ?
Cas possibles : \binom{12}{4} = 495.
Par le contraire : le jury n’est pas mixte s’il est entièrement féminin ou entièrement masculin : \binom{7}{4} + \binom{5}{4} = 35 + 5 = 40
P(\text{mixte}) = 1 - \frac{40}{495} = 1 - 0{,}081 = 0{,}919
Un exercice complet (suite)
Trois réflexes ont servi
- L’ordre ne compte pas dans un jury : combinaisons.
- « Mixte » recouvre beaucoup de cas, « non mixte » seulement deux : passer au contraire.
- « Entièrement féminin ou entièrement masculin » sont incompatibles : on additionne sans correction.
Ces trois réflexes suffisent à traiter la majorité des exercices de la partie III.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Cinq points
- Une probabilité est positive, vaut 1 sur l’univers, et est additive sur les événements incompatibles.
- Ces trois axiomes ne font que reprendre les propriétés des fréquences.
- P(\overline{A}) = 1 - P(A) : le réflexe du contraire, dès qu’on lit « au moins ».
- P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) : ne jamais additionner sans retirer l’intersection.
- Sous équiprobabilité, tout se ramène à un dénombrement.
La suite
Toutes ces règles supposent une information fixe. Or l’information change : un test tombe, un signal apparaît, un client se manifeste.
Le chapitre 6 introduit l’outil qui traite l’arrivée d’une information : la probabilité conditionnelle. C’est le concept central de tout le cours.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)