Probabilités
Conditionnement et indépendance
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 6 : Conditionnement et indépendance
Rétrécir l’univers
Ce que fait une information nouvelle
La définition
Probabilité conditionnelle
Soit B un événement de probabilité non nulle. La probabilité de A sachant B est
\boxed{\;P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\;}
La formule dit ce que fait la figure
Apprendre que B est réalisé remplace l’univers : B devient le nouveau tout.
Il faut donc, d’une part, ne garder de A que ce qui survit dans B — c’est A \cap B — et d’autre part rapporter cette part à la nouvelle taille P(B), pour que le total revienne à 1.
Rien de neuf, encore une fois
C’est la distribution conditionnelle du cours de statistique
Dans un tableau de contingence, on lisait le profil-ligne en divisant chaque case par le total de sa ligne :
f_{j \mid i} = \frac{n_{ij}}{n_{i\bullet}}
Remplacez les effectifs par des probabilités : vous obtenez P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B). La même opération, sous un autre nom.
Rien de neuf, encore une fois (suite)
Sur le dé
On lance un dé et l’on apprend que le résultat est pair. Quelle est la probabilité qu’il soit supérieur à 3 ?
P(>3 \mid \text{pair}) = \frac{P(\{4,6\})}{P(\{2,4,6\})} = \frac{2/6}{3/6} = \frac23
Sans l’information, la réponse était P(\{4,5,6\}) = 1/2. L’information a modifié la réponse.
Probabilités composées
Retourner la formule
Probabilités composées
P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A)
Pour trois événements : P(A \cap B \cap C) = P(A)\,P(B \mid A)\,P(C \mid A \cap B)
C’est la formule de l’arbre
Un arbre se lit en multipliant le long d’un chemin : la probabilité de la première branche, puis celle de la deuxième sachant la première, et ainsi de suite.
La règle des probabilités composées n’est que l’écriture algébrique de ce geste.
Le tirage sans remise
Deux cartes défectueuses
Un lot de 20 pièces contient 4 défectueuses. On en tire deux successivement, sans remise.
P(\text{deux défectueuses}) = \underbrace{\frac{4}{20}}_{\text{première}} \times \underbrace{\frac{3}{19}}_{\text{seconde, sachant la première}} = \frac{12}{380} \approx 0{,}032
Le sans-remise est un conditionnement
La deuxième fraction n’est pas 4/20 : le stock a changé. C’est très exactement ce que dit P(B \mid A).
Les chapitres 3 et 4 comptaient ces situations ; ce chapitre les calcule directement, sans passer par le dénombrement.
L’indépendance
La définition
Événements indépendants
A et B sont indépendants lorsque l’information n’apporte rien :
P(A \mid B) = P(A) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\;P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\;}
La seconde écriture est celle qu’il faut utiliser
Elle est symétrique — elle ne privilégie ni A ni B — et elle reste valable même si P(B) = 0.
C’est aussi elle qui se généralise : n événements sont indépendants si la probabilité de toute intersection est le produit des probabilités.
Le piège du chapitre 1, réglé
Incompatible et indépendant sont contraires
| A \cap B | Relation | |
|---|---|---|
| Incompatibles | \varnothing | l’un exclut l’autre |
| Indépendants | P(A)P(B) | l’un n’apprend rien sur l’autre |
Deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants
Si A et B sont incompatibles et de probabilités non nulles :
P(A \mid B) = \frac{P(\varnothing)}{P(B)} = 0 \neq P(A)
Apprendre que B s’est produit a tout appris sur A : il ne s’est pas produit. C’est le contraire même de l’indépendance.
L’indépendance en pratique
Elle se postule, elle ne se vérifie pas
Dans un exercice, l’indépendance est presque toujours donnée par l’énoncé : lancers successifs, crédits d’emprunteurs sans lien, pannes de machines distinctes.
Dans la réalité, c’est une hypothèse de modélisation — souvent commode, parfois fausse, et toujours à interroger.
Ce que l’indépendance a coûté en 2008
Les modèles de risque de crédit supposaient les défauts largement indépendants. Cette hypothèse rendait les portefeuilles très sûrs : 0{,}04^{10} est un nombre minuscule.
Mais une récession frappe tous les emprunteurs en même temps. Les défauts sont corrélés, et le risque réel était sans commune mesure avec le risque calculé. Toute l’erreur tenait dans une hypothèse d’indépendance.
Les probabilités totales
Découper pour calculer
La formule
Formule des probabilités totales
Si B_1, \dots, B_k forment un système complet, alors pour tout événement A :
P(A) = \sum_{j=1}^{k} P(B_j)\,P(A \mid B_j)
Cas particulier le plus fréquent : \;P(A) = P(B)P(A \mid B) + P(\overline{B})P(A \mid \overline{B}).
C’est une moyenne pondérée
P(A) est la moyenne des probabilités conditionnelles, pondérée par le poids de chaque cas.
Exactement la structure de \overline{x} = \sum f_i x_i — la moyenne générale d’une population découpée en sous-populations. Encore une fois, la même formule.
Un exemple de gestion
Trois fournisseurs
Un distributeur s’approvisionne à 50\,\% chez F_1, 30\,\% chez F_2, 20\,\% chez F_3. Les taux de défaut respectifs sont 2\,\%, 5\,\% et 8\,\%.
P(\text{défaut}) = 0{,}50(0{,}02) + 0{,}30(0{,}05) + 0{,}20(0{,}08) = 0{,}010 + 0{,}015 + 0{,}016 = 0{,}041
Le taux global est de 4{,}1\,\%.
Ce que le chiffre global cache
F_3 ne représente que 20\,\% des volumes, mais fournit 0{,}016/0{,}041 = 39\,\% des pièces défectueuses.
Le taux global de 4{,}1\,\% ne dit rien de cela. C’est la décomposition, non le total, qui indique où agir.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Conditionner, c’est rétrécir l’univers : P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.
- C’est la distribution conditionnelle de la statistique descriptive, transposée.
- Probabilités composées : P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B) — la règle de lecture d’un arbre.
- Indépendance : P(A \cap B) = P(A)P(B) ; elle se postule et doit toujours être interrogée.
- Incompatible n’est pas indépendant : c’est le contraire.
- Probabilités totales : P(A) = \sum_j P(B_j)P(A \mid B_j), une moyenne pondérée sur les cas.
La suite
Nous savons calculer P(\text{alerte} \mid \text{défaut}) — la performance d’un test. Mais un banquier reçoit l’alerte et veut P(\text{défaut} \mid \text{alerte}).
Ces deux nombres n’ont rien à voir. Le chapitre 7 explique comment passer de l’un à l’autre — et pourquoi les confondre est l’erreur de raisonnement la plus répandue.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)