Probabilités
Géométrique et Poisson
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 13 : Géométrique et Poisson
Attendre le premier succès
Une autre question sur la même épreuve
On change la question, pas l’expérience
La binomiale fixait n et comptait les succès. Ici on renverse : on fixe le nombre de succès à un, et l’on compte les épreuves nécessaires.
Même épreuve de Bernoulli, même paramètre p. Seule la question change — et la loi avec elle.
Loi géométrique
X suit une loi géométrique de paramètre p si elle compte le rang du premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes :
P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p, \qquad k = 1, 2, 3, \dots
La formule se lit toute seule
Un seul chemin convient
Pour que le premier succès soit au rang k, il faut k-1 échecs puis un succès. Un seul chemin, donc aucun coefficient à compter — contrairement à la binomiale.
\underbrace{(1-p)^{k-1}}_{k-1 \text{ échecs}} \times \underbrace{p}_{\text{le succès}}
Ses caractéristiques
E(X) = \frac{1}{p} \qquad V(X) = \frac{1-p}{p^2} \qquad P(X > k) = (1-p)^k
Sa forme
Deux résultats contre-intuitifs
Le mode est toujours k = 1
La suite (1-p)^{k-1}p décroît dès le départ : le rang le plus probable du premier succès est le premier essai, même quand p vaut 0{,}05.
Et pourtant E(X) = 1/p = 20. Le plus probable et la moyenne sont très éloignés : c’est la marque d’une distribution fortement dissymétrique.
L’absence de mémoire
P(X > m + k \mid X > m) = P(X > k)
Après m échecs, la loi de l’attente restante est identique à celle du départ.
L’erreur du joueur
Une machine ne se souvient de rien
Dix échecs consécutifs ne rendent pas le onzième essai plus prometteur. La probabilité de succès reste p, inchangée.
Croire le contraire s’appelle l’erreur du joueur. Elle explique une grande part des comportements d’addiction au jeu, et elle se réfute par une ligne de calcul.
Une application commerciale
Un démarchage aboutit avec une probabilité p = 0{,}08 par appel.
E(X) = \frac{1}{0{,}08} = 12{,}5 \text{ appels par vente}
P(X > 30) = (0{,}92)^{30} = 0{,}082
Huit pour cent des commerciaux passeront plus de trente appels avant leur première vente — sans être moins bons que les autres.
Les événements rares
Le problème
Quand n est immense et p minuscule
Combien de sinistres dans un portefeuille d’un million de contrats ? Combien de pannes dans une année ? Combien de clients à un guichet en une heure ?
Chaque « épreuve » est un instant, chaque probabilité est infime, et n n’est même pas connu. La binomiale devient inutilisable.
Loi de Poisson
X suit une loi de Poisson de paramètre \lambda > 0 si
P(X = k) = \mathrm{e}^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots
avec \;E(X) = V(X) = \lambda.
Poisson est la binomiale à la limite
Ce que la limite apporte
Le théorème
Si n \to \infty et p \to 0 de sorte que np \to \lambda, alors
\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \;\longrightarrow\; \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
En pratique, l’approximation est bonne dès que n \geq 30 et p \leq 0{,}1.
Deux paramètres deviennent un seul
La binomiale exige n et p séparément. Poisson n’a besoin que de leur produit.
C’est décisif : un assureur ne connaît pas le nombre d’« épreuves » d’une année, mais il connaît parfaitement le nombre moyen de sinistres. Poisson ne demande rien d’autre.
Un signe distinctif utile
Espérance égale variance
E(X) = V(X) = \lambda
C’est une propriété caractéristique, et c’est un test : si les données montrent une variance nettement supérieure à la moyenne, la loi de Poisson est inadaptée.
La surdispersion, et ce qu’elle signale
Un assureur observe \overline{x} = 0{,}26 sinistre par contrat mais une variance de 0{,}61. Poisson est rejetée.
L’explication est presque toujours la même : la population n’est pas homogène. Il y a de bons et de mauvais conducteurs, et il faut segmenter. La statistique a détecté ce que le modèle avait supposé à tort.
Un calcul complet
Un guichet
Un guichet reçoit en moyenne \lambda = 3 clients par quart d’heure.
P(X = 0) = \mathrm{e}^{-3} = 0{,}0498 P(X = 3) = \mathrm{e}^{-3}\frac{27}{6} = 0{,}224 P(X \geq 6) = 1 - \sum_{k=0}^{5}\mathrm{e}^{-3}\frac{3^k}{k!} = 1 - 0{,}916 = 0{,}084
Le dimensionnement d’un service
Un guichet sur douze connaîtra une affluence d’au moins six clients par quart d’heure.
C’est ce chiffre — non la moyenne de trois — qui détermine le nombre de guichets à ouvrir. Dimensionner sur la moyenne garantit une file d’attente la moitié du temps.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Géométrique : rang du premier succès, P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, E(X) = 1/p.
- Son mode est toujours k = 1, très loin de sa moyenne : distribution dissymétrique.
- Absence de mémoire : les échecs passés n’améliorent pas les chances futures.
- Poisson : P(X = k) = \mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^k/k!, la binomiale quand n \to \infty, p \to 0, np = \lambda.
- Elle ne demande qu’un paramètre : le nombre moyen d’événements.
- E(X) = V(X) = \lambda ; une variance supérieure signale une population hétérogène.
La suite
Ces trois lois — Bernoulli, binomiale, Poisson — suffisent à modéliser un portefeuille de crédits complet.
Le chapitre 14 le fait, de bout en bout : loi, espérance, écart-type, queue de distribution, provision et capital.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)