Probabilités
Les combinaisons
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 4 : Les combinaisons
Quand l’ordre ne compte pas
Le problème
Trois personnes parmi dix
On forme un comité de 3 membres dans un conseil de 10.
Le calcul du chapitre 3 donne A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720. Mais ce nombre est faux pour un comité.
Pourquoi il est faux
Le comité formé de {Amina, Brahim, Chakib} a été compté six fois : une fois pour chacun des 3! = 6 ordres dans lesquels on pouvait les tirer.
Or un comité n’a pas d’ordre. Il faut donc diviser par 3! :
\frac{720}{6} = 120
La formule
Combinaison
Une combinaison de k objets parmi n est une sélection non ordonnée et sans répétition. Leur nombre est
\boxed{\;\binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\;}
On lit « k parmi n » ; l’ancienne notation C_n^k désigne la même chose.
La formule se retient en une phrase
On compte d’abord les tirages ordonnés, puis on efface l’ordre en divisant par le nombre de façons de ranger les k objets choisis.
\text{combinaisons} = \frac{\text{arrangements}}{k!}
Les deux questions à se poser
La carte du dénombrement
La méthode, en pratique
Deux questions, dans cet ordre
- L’ordre compte-t-il ? Autrement dit : deux tirages contenant les mêmes objets rangés autrement sont-ils des résultats différents ?
- Peut-on répéter un objet ? Autrement dit : le tirage se fait-il avec ou sans remise ?
Les réponses désignent une case du tableau, et une seule.
Quatre énoncés, quatre cases
| Situation | Ordre | Remise | Formule |
|---|---|---|---|
| Code à 4 chiffres | oui | oui | 10^4 |
| Podium de 12 coureurs | oui | non | A_{12}^3 |
| Comité de 3 sur 10 | non | non | \binom{10}{3} |
| 5 boules de 3 couleurs | non | oui | \binom{7}{5} |
Les propriétés
Trois identités à connaître
Les trois seules qui servent
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \qquad \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n
La symétrie, sans calcul
Choisir 3 personnes parmi 10 pour former un comité, c’est exactement choisir les 7 qui n’en seront pas. Les deux opérations sont la même, donc les deux nombres sont égaux.
\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120
Utilisez toujours le plus petit des deux : \binom{50}{48} se calcule comme \binom{50}{2} = 1\,225, de tête.
La relation de Pascal
Le triangle se construit par additions
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
Le triangle de Pascal
| n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
La relation de Pascal (suite)
La démonstration tient en une phrase
Isolons une personne, disons Amina. Un comité de k membres parmi n est de deux sortes, sans recouvrement :
- ceux qui contiennent Amina : il reste k-1 places à pourvoir parmi les n-1 autres ;
- ceux qui ne la contiennent pas : il reste k places à pourvoir parmi les n-1 autres.
On additionne : c’est la formule. Aucun calcul n’a été nécessaire.
La formule du binôme, à titre de rappel
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^k\,b^{n-k}
Les coefficients du développement sont exactement les lignes du triangle. Cette formule reviendra au chapitre 12 : c’est elle qui garantit que les probabilités binomiales somment à 1.
Les combinaisons au travail
Retour à la règle de Laplace
Un tirage de loterie
On tire 5 numéros parmi 49. Nombre de grilles possibles :
\binom{49}{5} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1\,906\,884
P(\text{grille gagnante}) = \frac{1}{1\,906\,884} \approx 5{,}2 \times 10^{-7}
Ce que ce nombre signifie
Une chance sur presque deux millions. En jouant une grille par semaine, il faudrait en moyenne trente-six mille ans.
Le dénombrement ne dit pas qu’il ne faut pas jouer : il dit exactement ce que l’on achète.
Un tirage à plusieurs catégories
Le contrôle qualité
Un lot de 20 pièces contient 4 défectueuses. On en prélève 5 au hasard. Quelle est la probabilité d’en trouver exactement 2 défectueuses ?
Cas possibles : \binom{20}{5} = 15\,504.
Cas favorables : choisir 2 défectueuses parmi 4 et 3 bonnes parmi 16 : \binom{4}{2} \times \binom{16}{3} = 6 \times 560 = 3\,360
P = \frac{3\,360}{15\,504} \approx 0{,}217
Un tirage à plusieurs catégories (suite)
La structure à retenir
Le « et » du raisonnement — 2 défectueuses et 3 bonnes — est devenu une multiplication, conformément au chapitre 2.
C’est le schéma de tous les exercices de ce type : on découpe la population en catégories, on choisit dans chacune, on multiplie.
Un plan d’échantillonnage
Ce calcul est celui de la norme d’échantillonnage en contrôle de réception : combien de pièces prélever, et à partir de combien de défauts refuser le lot ?
La réponse se lit dans cette distribution — dite hypergéométrique — et l’ensemble de la qualité industrielle en dépend.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Une combinaison est une sélection sans ordre et sans répétition : \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}
- Elle s’obtient en divisant les arrangements par k! — on efface l’ordre.
- Deux questions suffisent devant tout énoncé : l’ordre compte-t-il ? peut-on répéter ?
- Symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} ; calculez toujours le plus petit côté.
- Pascal : \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}, qui se démontre en isolant un individu.
- Un « et » entre catégories devient une multiplication de combinaisons.
La suite
Nous savons compter. Il reste à passer du comptage au calcul : les axiomes, les règles d’addition, le conditionnement.
C’est la troisième partie du cours, et le chapitre 5 l’ouvre.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)