Probabilités
Uniforme et exponentielle
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 16 : Uniforme et exponentielle
La loi uniforme
La loi de l’ignorance
Loi uniforme continue
X suit une loi uniforme sur [a\,;b], notée \mathcal{U}[a\,;b], si sa densité est constante sur l’intervalle :
f(x) = \frac{1}{b-a} \text{ sur } [a\,;b], \qquad 0 \text{ ailleurs}
Ce qu’elle exprime
Aucune valeur de l’intervalle n’est privilégiée. C’est la traduction exacte de « je ne sais rien, sinon que la valeur est comprise entre a et b ».
C’est le pendant continu de l’équiprobabilité du dé — et la seule loi qui n’ajoute aucune information à ce que l’énoncé donne.
Densité et répartition
Ses caractéristiques
Les formules
F(x) = \frac{x-a}{b-a} \text{ sur } [a\,;b] \qquad E(X) = \frac{a+b}{2} \qquad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}
P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}
Deux résultats évidents, un moins
L’espérance est le milieu : la symétrie l’impose.
Toute probabilité est un rapport de longueurs : c’est la règle de Laplace, transposée du comptage à la mesure.
Le 12 de la variance, lui, ne se devine pas — il sort de l’intégration.
Un usage inattendu mais décisif
Tout générateur aléatoire produit de l’uniforme
Les fonctions runif de R et random() de Python tirent des nombres uniformes sur [0\,;1]. Aucune autre loi n’est produite directement.
Toutes les autres s’en déduisent, par une seule opération.
La méthode de la transformée inverse
Si U \sim \mathcal{U}[0\,;1], alors X = F^{-1}(U) suit la loi de fonction de répartition F.
On tire au hasard une hauteur entre 0 et 1, on lit l’abscisse correspondante sur la courbe de F. Toute la simulation de Monte-Carlo repose sur cette phrase.
La loi exponentielle
La durée d’attente
Loi exponentielle
X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda > 0 si
f(x) = \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x} \text{ pour } x \geq 0, \qquad F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}
E(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \qquad \sigma(X) = \frac{1}{\lambda}
Espérance égale écart-type
C’est une propriété caractéristique, et elle dit quelque chose : une durée exponentielle est très dispersée.
Une durée de vie moyenne de dix ans s’accompagne d’un écart-type de dix ans. Aucune régularité n’est à attendre.
Sa forme
La formule qui sert toujours
La survie
P(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}
C’est la fonction de survie, et c’est elle qu’on utilise en pratique — presque jamais la densité.
Une machine
Une machine a une durée de vie exponentielle de moyenne 5 ans, donc \lambda = 0{,}2.
P(X > 3) = \mathrm{e}^{-0{,}6} = 0{,}549 P(X > 10) = \mathrm{e}^{-2} = 0{,}135 P(3 < X < 10) = 0{,}549 - 0{,}135 = 0{,}414
L’absence de mémoire, et sa portée
La propriété
P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)
Une machine en fonctionnement depuis s années a la même loi de durée de vie restante qu’une machine neuve.
C’est la géométrique, en continu
La géométrique comptait combien d’essais avant le premier succès ; l’exponentielle mesure combien de temps.
Les deux ont la même propriété, pour la même raison : à chaque instant, le processus recommence à zéro. Ce sont les deux seules lois qui possèdent cette propriété.
Où elle s’applique, et où elle ne s’applique pas
Le bon usage
L’exponentielle convient aux pannes accidentelles : composants électroniques, arrivées de clients, intervalles entre sinistres.
Elle est fausse pour l’usure : un roulement, un pneu, un moteur vieillissent. Leur taux de panne augmente avec l’âge, ce que l’absence de mémoire interdit.
Le couple Poisson–exponentielle
Si les arrivées suivent une loi de Poisson de paramètre \lambda par unité de temps, alors les délais entre deux arrivées suivent une loi exponentielle de paramètre \lambda.
C’est le même processus, décrit de deux façons : par le nombre d’événements, ou par le temps qui les sépare.
Une vérification instructive
Le guichet du chapitre 13
\lambda = 3 clients par quart d’heure. La probabilité qu’aucun client n’arrive pendant un quart d’heure :
Par Poisson : \;P(N = 0) = \mathrm{e}^{-3} = 0{,}0498. Par l’exponentielle : \;P(X > 1) = \mathrm{e}^{-3} = 0{,}0498.
Deux questions, un seul nombre
« Aucune arrivée en un quart d’heure » et « le délai avant la prochaine arrivée dépasse un quart d’heure » sont le même événement, exprimé autrement.
Les deux lois devaient donc donner le même résultat, et elles le donnent.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Uniforme : densité constante, E(X) = \frac{a+b}{2}, V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} ; toute probabilité est un rapport de longueurs.
- C’est la loi de l’ignorance — et celle que produit tout générateur aléatoire.
- Transformée inverse : X = F^{-1}(U) fabrique n’importe quelle loi à partir de l’uniforme.
- Exponentielle : f(x) = \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}, P(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}, E(X) = \sigma(X) = 1/\lambda.
- Elle est sans mémoire — d’où son inadéquation aux phénomènes d’usure.
- Poisson compte, l’exponentielle chronomètre : c’est un seul processus vu de deux façons.
La suite
Ces deux lois décrivent des situations particulières. La suivante décrit presque tout le reste, et pour une raison démontrable.
Le chapitre 17 est consacré à la loi normale — la seule dont il faille savoir lire la table.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)