Probabilités
Loi et fonction de répartition
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 9 : Loi et fonction de répartition
La loi de probabilité
Le tableau statistique, revenu à l’identique
Loi de probabilité
La loi d’une variable aléatoire discrète X est la donnée de toutes ses valeurs possibles x_i et des probabilités correspondantes p_i = P(X = x_i).
Elle vérifie, comme les fréquences : p_i \geq 0 \qquad \text{et} \qquad \sum_i p_i = 1
La loi du dé
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p_i | \frac16 | \frac16 | \frac16 | \frac16 | \frac16 | \frac16 | 1 |
C’est le tableau statistique de l’introduction, avec p_i à la place de f_i.
Deux représentations
La fonction de répartition
Fonction de répartition
F(x) = P(X \leq x)
C’est la probabilité cumulée : la transposition exacte de la colonne F_i du tableau statistique.
Comment on la construit
On additionne les probabilités de toutes les valeurs inférieures ou égales à x.
F(x) = \sum_{x_i \leq x} p_i
D’où sa forme en escalier : elle reste plate entre deux valeurs, puis saute de p_i à chaque valeur atteinte. La hauteur du saut est la hauteur du bâton.
Ses propriétés
Quatre propriétés, toujours vraies
- F est croissante — on ne fait qu’ajouter des probabilités.
- F(-\infty) = 0 et F(+\infty) = 1.
- F est comprise entre 0 et 1.
- F est continue à droite ; ses sauts se produisent aux valeurs de X.
Deux objets, une seule information
De la loi on déduit F en cumulant ; de F on retrouve la loi en prenant les hauteurs de sauts.
Connaître l’un, c’est connaître l’autre. On garde les deux parce que chacun répond plus vite à un type de question.
À quoi sert chacun
Le bon outil selon la question
| Question | Outil | Calcul |
|---|---|---|
| P(X = 3) | la loi | p_3 |
| P(X \leq 3) | la répartition | F(3) |
| P(X > 3) | la répartition | 1 - F(3) |
| P(2 < X \leq 5) | la répartition | F(5) - F(2) |
La ligne à retenir
P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)
Toute probabilité d’intervalle est une différence de la fonction de répartition. C’est ce qui la rend indispensable, et c’est elle qu’on tabule — pour la loi normale comme pour les autres.
Attention aux bornes, en discret
Sur le dé
P(X \leq 3) = \frac36 = 0{,}5 \qquad\text{mais}\qquad P(X < 3) = \frac26 \approx 0{,}333
L’écart vaut exactement P(X = 3) = 1/6.
Une précaution qui disparaîtra
En discret, < et \leq ne donnent pas le même résultat : une valeur isolée pèse.
En continu, ce sera l’inverse : P(X = a) = 0, et les deux écritures deviendront équivalentes. C’est l’un des rares points où le continu est plus simple que le discret.
Un exemple de gestion complet
Un contrat d’assurance
La loi des sinistres
Un assureur observe, sur un contrat automobile, la loi suivante du nombre annuel de sinistres :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0{,}80 | 0{,}15 | 0{,}04 | 0{,}01 | 1 |
| F(k) | 0{,}80 | 0{,}95 | 0{,}99 | 1{,}00 |
Ce que la ligne cumulée permet de lire
95\,\% des assurés déclarent au plus un sinistre : F(1) = 0{,}95.
Réciproquement, P(X \geq 2) = 1 - F(1) = 0{,}05 : un contrat sur vingt coûte cher. C’est cette queue de distribution qui détermine la prime, non la moyenne.
Le lien avec les quantiles
Le quantile d’ordre alpha
Le quantile q_\alpha est la plus petite valeur telle que F(q_\alpha) \geq \alpha.
C’est la lecture inverse de la fonction de répartition : on se donne une probabilité, on cherche la valeur.
La Value at Risk n’est rien d’autre
La VaR à 99\,\% d’un portefeuille est le quantile d’ordre 0{,}99 de la loi de ses pertes : la perte qui n’est dépassée qu’une fois sur cent.
Toute la réglementation prudentielle repose sur cette lecture inverse de F — apprise ici, sur un dé.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- La loi de X donne chaque valeur et sa probabilité ; les p_i somment à 1.
- C’est le tableau statistique, avec p_i au lieu de f_i.
- La fonction de répartition F(x) = P(X \leq x) cumule : c’est la colonne F_i.
- Elle est croissante, en escalier, et va de 0 à 1.
- P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) : toute probabilité d’intervalle est une différence.
- Lue à l’envers, F donne les quantiles — et la Value at Risk en est un.
La suite
La loi contient toute l’information, mais elle ne la résume pas : six probabilités pour un dé, deux cent une pour un portefeuille.
Il faut donc des indicateurs, comme en statistique descriptive. Le premier d’entre eux est celui que l’introduction avait annoncé : l’espérance mathématique.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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