Probabilités

Le théorème de Bayes

Probabilités

Chapitre 7 : Le théorème de Bayes

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Renverser la question

Deux questions qu’on prend pour une seule

Elles ne sont pas symétriques

P(\text{alerte} \mid \text{défaut}) : un emprunteur qui va faire défaut sera-t-il détecté ? C’est la qualité du modèle, mesurée sur des cas connus.

P(\text{défaut} \mid \text{alerte}) : un emprunteur signalé va-t-il vraiment faire défaut ? C’est la question du décideur, posée sur un cas inconnu.

L’écart entre les deux peut être immense

« Presque tous les joueurs professionnels de basket sont grands » est vrai. « Presque tous les gens grands sont joueurs professionnels de basket » est absurde.

C’est le même renversement, et c’est le sujet du chapitre.

L’arbre du risque de crédit

Les données du problème

Un modèle de détection

Une banque dispose d’un modèle d’alerte. Sur son historique :

4\,\% des crédits font défaut — c’est le taux de base, P(D) = 0{,}04 ;
le modèle détecte 90\,\% des défauts — la sensibilité, P(\text{alerte} \mid D) = 0{,}90 ;
il signale à tort 5\,\% des bons crédits — le taux de fausse alerte, P(\text{alerte} \mid \overline{D}) = 0{,}05.

Un dossier vient de déclencher une alerte. Faut-il refuser le crédit ?

L’arbre, et ce qu’il donne

Le calcul, en deux temps

Premier temps : les probabilités totales

P(\text{alerte}) = \underbrace{0{,}04 \times 0{,}90}_{\text{vraies alertes}} + \underbrace{0{,}96 \times 0{,}05}_{\text{fausses alertes}} = 0{,}036 + 0{,}048 = 0{,}084

Second temps : la part qui nous intéresse

P(D \mid \text{alerte}) = \frac{P(D \cap \text{alerte})}{P(\text{alerte})} = \frac{0{,}036}{0{,}084} = 0{,}43

La lecture

Un modèle fiable à quatre-vingt-dix pour cent se trompe plus d’une fois sur deux

Sur cent alertes, 57 concernent des crédits parfaitement sains.

Le modèle n’est pourtant pas mauvais : il détecte bien 90\,\% des défauts. Le problème n’est pas sa performance, c’est le nombre de bons dossiers.

Où va l’erreur

4\,\% de mauvais dossiers, 96\,\% de bons. Cinq pour cent d’une très grande population donne plus de cas que quatre-vingt-dix pour cent d’une très petite.

0{,}05 \times 96 = 4{,}8 \qquad > \qquad 0{,}90 \times 4 = 3{,}6

Les fausses alertes sont plus nombreuses que les vraies, parce que les bons dossiers sont vingt-quatre fois plus nombreux.

Le voir en une image

Le théorème

L’énoncé

Théorème de Bayes

Pour un système complet B_1, \dots, B_k et un événement A de probabilité non nulle :

\boxed{\;P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}{\displaystyle\sum_{i} P(B_i)\,P(A \mid B_i)}\;}

Il n’y a rien à démontrer

Le numérateur est P(B_j \cap A) écrit avec les probabilités composées. Le dénominateur est P(A) écrit avec les probabilités totales.

Bayes est donc simplement la définition du conditionnement, dont on a développé les deux étages. Sa portée, en revanche, est considérable.

Le vocabulaire

Trois mots

Terme	Notation	Sens
Probabilité a priori	P(B_j)	ce que l’on croyait avant
Vraisemblance	P(A \mid B_j)	ce que le modèle prédit
Probabilité a posteriori	P(B_j \mid A)	ce que l’on croit après

Bayes est une machine à réviser une opinion

On part d’une croyance (4\,\% de défaut), on observe un signal (l’alerte), on obtient une croyance révisée (43\,\%).

L’information n’a pas donné une certitude : elle a déplacé une probabilité. C’est ainsi qu’un décideur apprend — et c’est le fondement de toute la statistique dite bayésienne.

Bayes et la décision

L’erreur du taux de base

L’erreur de raisonnement la plus répandue

Interrogés sur ce problème, la plupart des gens — y compris des professionnels — répondent « environ 90\,\% ». Ils confondent la sensibilité avec la réponse à leur question.

L’erreur consiste à oublier le taux de base : quand l’événement recherché est rare, un signal même fiable reste le plus souvent une fausse alerte.

Trois domaines où la même erreur se produit

Dépistage médical : une maladie touchant 1 personne sur 1\,000 et un test fiable à 99\,\% donnent une valeur prédictive d’environ 9\,\%.
Détection de fraude : les équipes de contrôle croulent sous les faux positifs, non par mauvaise détection mais par rareté de la fraude.
Justice : la « probabilité que l’empreinte coïncide par hasard » n’est pas la « probabilité que l’accusé soit innocent ».

Ce qu’un gestionnaire en tire

Trois conclusions opérationnelles

Un modèle ne s’évalue pas sur sa seule sensibilité : il faut connaître le taux de base.
Sur un événement rare, un signal doit être confirmé — d’où les procédures à deux niveaux, alerte puis instruction.
Baisser le taux de fausse alerte est souvent plus rentable que monter la sensibilité.

Vérification du point 3

Sensibilité portée à 99\,\%, fausses alertes inchangées : P(D \mid \text{alerte}) = \frac{0{,}0396}{0{,}0396 + 0{,}048} = 0{,}45

Sensibilité inchangée, fausses alertes ramenées à 1\,\% : P(D \mid \text{alerte}) = \frac{0{,}036}{0{,}036 + 0{,}0096} = 0{,}79

Le second effort vaut sept fois le premier.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points

P(A \mid B) et P(B \mid A) sont deux nombres différents ; les confondre est l’erreur de base.
Bayes : P(B_j \mid A) = \dfrac{P(B_j)P(A \mid B_j)}{\sum_i P(B_i)P(A \mid B_i)}.
C’est le conditionnement dont on a développé numérateur et dénominateur : rien de plus.
Vocabulaire : a priori, vraisemblance, a posteriori.
Quand l’événement est rare, un signal fiable produit surtout des fausses alertes.
Sur un événement rare, réduire les fausses alertes est bien plus efficace qu’augmenter la sensibilité.

La suite

La partie III s’achève : nous savons calculer la probabilité d’un événement.

Mais un gestionnaire ne veut pas seulement savoir si un défaut survient : il veut savoir combien il en survient, et combien cela coûte. Il faut donc attacher un nombre à chaque issue.

C’est la variable aléatoire, et c’est le chapitre 8.

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