Probabilités
Compter sans énumérer
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 2 : Compter sans énumérer
Pourquoi compter
Le dénombrement n’est pas un détour
Il est déjà dans la règle de Laplace
P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}
Deux nombres au numérateur et au dénominateur. Tant que l’univers tient en six faces, on les compte à la main. Au-delà, il faut une méthode.
Trois questions qu’on ne peut pas résoudre en énumérant
- Combien de codes de carte bancaire à quatre chiffres ?
- Combien de podiums possibles avec douze concurrents ?
- Combien de comités de trois personnes dans un conseil de dix ?
Les réponses sont 10\,000, 1\,320 et 120. Aucune ne s’obtient en écrivant la liste.
Le principe multiplicatif
L’arbre des possibles
Le principe, énoncé
Principe multiplicatif
Si une opération se décompose en k étapes successives, offrant respectivement n_1, n_2, \dots, n_k possibilités, alors le nombre total de résultats est
n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k
Pourquoi une multiplication
Chaque branche du premier niveau se redivise au second. Une branche devient n_2 branches, deux branches en deviennent 2n_2, et ainsi de suite.
L’arbre ne démontre rien de plus que ceci : ajouter une étape multiplie le nombre de chemins.
Les mots-clés qui déclenchent la règle
Deux mots à surveiller
| Mot de l’énoncé | Opération |
|---|---|
| « et », « puis », « ensuite » | on multiplie |
| « ou », « soit… soit » (cas exclusifs) | on additionne |
Les deux à la suite
Un menu propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts : 3 \times 4 \times 2 = 24 menus complets.
Si l’on peut prendre soit une entrée-plat, soit un plat-dessert : 3 \times 4 + 4 \times 2 = 20 formules.
Les listes
Tirer avec remise, en tenant compte de l’ordre
Nombre de listes
Tirer k objets parmi n, avec remise et en tenant compte de l’ordre, donne
\boxed{\;n^k\;}
Chacune des k places peut recevoir n’importe lequel des n objets, indépendamment des autres.
Le code de carte bancaire
Quatre positions, dix chiffres disponibles à chaque fois :
10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000
La probabilité de trouver un code au premier essai est donc 1/10\,000 = 0{,}0001.
Une application immédiate
Trois essais avant blocage
Une carte se bloque au troisième code faux. La probabilité qu’un fraudeur y parvienne est
\frac{3}{10\,000} = 0{,}0003
soit trois chances sur dix mille. Ce chiffre n’est pas une opinion sur la sécurité des cartes : c’est un dénombrement. C’est ainsi que se dimensionne une politique de sécurité.
Le même calcul, ailleurs
Plaques d’immatriculation, mots de passe, tirages successifs d’une pièce, réponses à un questionnaire à choix multiples : dès que chaque position est libre et que l’ordre compte, la réponse est n^k.
Le cas des deux dés
Pourquoi 36 et non 21
Deux dés lancés : 6^2 = 36 couples. Si l’on ne distinguait pas les dés, on ne compterait que 21 résultats — mais ils ne seraient pas équiprobables.
Le couple (3,5) et le couple (5,3) sont deux issues distinctes. Le résultat « un 3 et un 5 » en vaut donc deux, tandis que « deux 3 » n’en vaut qu’une.
La leçon du chapitre 1, confirmée par le calcul
C’est bien le choix de l’univers qui décide. Prendre 36 couples équiprobables permet d’appliquer Laplace ; prendre 21 paires ne le permet pas.
Le dénombrement est donc au service de la modélisation, jamais l’inverse.
La somme des probabilités
Compter les cas favorables
La somme de deux dés
Sur les 36 couples, comptons ceux qui donnent une somme de 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — soit 6 cas.
P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0{,}167
Et pourquoi 7 est la meilleure mise
P(2) = \frac{1}{36}\quad P(7) = \frac{6}{36} \quad P(12) = \frac{1}{36}
La somme 7 est six fois plus probable que la somme 12. Un joueur qui l’ignore perd régulièrement — et c’est sur cette asymétrie que reposent la plupart des jeux de casino.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Quatre points
- Le dénombrement sert à alimenter la règle de Laplace : il fournit les deux nombres du rapport.
- Principe multiplicatif : k étapes offrant n_1, \dots, n_k possibilités donnent n_1 \times \cdots \times n_k résultats.
- « Et » multiplie, « ou » additionne.
- Tirage avec remise et avec ordre — une liste : n^k résultats.
La suite
Le cas n^k suppose que l’on peut reprendre plusieurs fois le même objet. Ce n’est pas toujours vrai : un même concurrent ne peut occuper deux places du podium.
Le chapitre 3 traite le tirage sans remise : arrangements et permutations.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)