Probabilités
Du discret au continu
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 15 : Du discret au continu
Le passage
Pourquoi il faut changer d’outil
Certaines grandeurs ne se comptent pas
Un nombre de défauts prend les valeurs 0, 1, 2, \dots On peut les lister et attribuer une probabilité à chacune.
Une durée de vie, un montant, un taux de rendement ne se listent pas : entre 2{,}31 et 2{,}32 il y a une infinité de valeurs. Le tableau de loi devient impossible.
Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire est continue lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.
Sa loi ne se donne plus par un tableau, mais par une fonction de densité.
Ce que fait l’affinement des classes
La densité, telle qu’on l’a déjà rencontrée
Le chapitre 4 de la statistique descriptive
Pour des classes d’amplitudes inégales, on ne portait pas l’effectif en hauteur mais la densité — l’effectif divisé par l’amplitude — afin que l’aire représente l’effectif.
C’est exactement la notion qui revient ici. Rien de nouveau : la même correction, poussée à la limite.
Fonction de densité
Une fonction f est une densité de probabilité si
f(x) \geq 0 \qquad\text{et}\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1
et la probabilité se lit alors comme une aire :
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
Ce que la densité n’est pas
Trois conséquences à accepter
Ce qui change par rapport au discret
- f(x) n’est pas une probabilité : elle peut dépasser 1.
- P(X = a) = 0 pour toute valeur a : un segment n’a pas d’aire.
- Par conséquent P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) : les bornes ne comptent plus.
Le point 2 déroute, et à tort
« Probabilité nulle » ne veut pas dire « impossible ». La variable prend bien une valeur, et cette valeur avait une probabilité nulle avant le tirage.
L’analogie est géométrique : une droite tracée dans un carré a une aire nulle, elle existe pourtant. Demander la probabilité d’un point exact est simplement une question mal posée en continu.
Comment la question se pose correctement
Reformuler
| Question mal posée | Question utile |
|---|---|
| « La perte sera-t-elle de 1\,000\,000 ? » | « Dépassera-t-elle 1\,000\,000 ? » |
| « Le rendement vaudra-t-il 5\,\% ? » | « Sera-t-il entre 4\,\% et 6\,\% ? » |
C’est une bonne nouvelle pour un gestionnaire
Aucune décision ne porte jamais sur une valeur exacte. On décide sur des seuils et des intervalles — franchir un plafond, rester dans une fourchette.
Le continu impose donc de poser la question qu’on aurait de toute façon dû poser.
Les outils du continu
La fonction de répartition
Elle ne change pas de définition
F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t
et réciproquement \;f(x) = F'(x).
L’escalier est devenu une courbe
En discret, F montait par sauts, chaque saut valant p_i. En continu, elle monte continûment : il n’y a plus de saut, puisqu’aucune valeur ne pèse.
Elle reste croissante, part de 0, arrive à 1. Et la règle essentielle survit : P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)
Espérance et variance
La somme devient une intégrale
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x
V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,\mathrm{d}x - \big[E(X)\big]^2
Le dictionnaire est complet
| Discret | Continu |
|---|---|
| \sum_i | \displaystyle\int |
| p_i | f(x)\,\mathrm{d}x |
| \sum_i p_i = 1 | \int f(x)\,\mathrm{d}x = 1 |
| E(X) = \sum_i p_i x_i | E(X) = \int x f(x)\,\mathrm{d}x |
Toutes les propriétés démontrées aux chapitres 10 et 11 restent vraies : linéarité, König-Huygens, variance d’une somme. Rien à réapprendre.
Les quantiles, en continu
La lecture inverse redevient simple
Le quantile q_\alpha est la valeur telle que F(q_\alpha) = \alpha.
F étant continue et strictement croissante, cette équation a une solution unique : q_\alpha = F^{-1}(\alpha).
La Value at Risk, enfin bien définie
En discret, le quantile à 99\,\% sautait de 14 à 15 défauts sans passer par les valeurs intermédiaires.
En continu, il vaut exactement ce qu’il doit valoir. C’est pourquoi les modèles de risque de marché travaillent sur des lois continues : la VaR y est un nombre, non un palier.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Une variable continue prend toutes les valeurs d’un intervalle ; sa loi est une densité.
- Le continu est un histogramme dont on a affiné les classes jusqu’à la limite.
- f(x) \geq 0, \int f = 1, et P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f : la probabilité est une aire.
- f(x) n’est pas une probabilité, et P(X = a) = 0 : seules les questions par intervalle ont un sens.
- F(x) = P(X \leq x) devient continue ; P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) reste valable.
- \sum devient \int : toutes les formules d’espérance et de variance sont conservées.
La suite
Le cadre est posé. Trois lois continues suffisent à couvrir l’essentiel des usages.
Le chapitre 16 traite les deux premières — l’uniforme et l’exponentielle — puis le chapitre 17 aborde celle qui domine tout : la loi normale.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)