Probabilités
La loi des grands nombres
- Présentation du cours
- Du dé aux probabilités
- Le vocabulaire du hasard
- Compter sans énumérer
- Permutations et arrangements
- Les combinaisons
- Les axiomes et les premières règles
- Conditionnement et indépendance
- Le théorème de Bayes
- La variable aléatoire
- Loi et fonction de répartition
- L'espérance mathématique
- Variance, covariance et couples
- Bernoulli et la loi binomiale
- Géométrique et Poisson
- Étude de cas : un portefeuille de crédits
- Du discret au continu
- Uniforme et exponentielle
- La loi normale
- Les lois dérivées et la carte des lois
- La loi des grands nombres
- Le théorème central limite
- Mise en œuvre sur R et Python
Probabilités
Chapitre 19 : La loi des grands nombres
La promesse de l’introduction
Ce qui n’a jamais été démontré
Une dette contractée dès la première page
L’introduction définissait la probabilité comme la limite d’une fréquence. Il l’avait observé sur une figure, sans rien prouver.
Toute la construction du cours repose sur cette affirmation. Il est temps de la démontrer — et de mesurer sa portée exacte.
La question
On répète une expérience n fois de façon indépendante, et l’on calcule la moyenne des résultats :
\overline{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}
Que devient cette moyenne quand n grandit ?
La moyenne d’un échantillon
Ses deux moments
Espérance et variance de la moyenne
Si les X_i sont indépendantes, de même espérance m et de même écart-type \sigma :
E(\overline{X}_n) = m \qquad\qquad V(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad\qquad \sigma(\overline{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Le calcul, en deux lignes
E(\overline{X}_n) = \frac1n\big[E(X_1) + \cdots + E(X_n)\big] = \frac{nm}{n} = m
V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\big[V(X_1) + \cdots + V(X_n)\big] = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}
La seconde ligne utilise V(aX) = a^2V(X) et l’indépendance, sans laquelle les variances ne s’additionneraient pas.
Les deux résultats, lus séparément
Le premier : la moyenne vise juste
E(\overline{X}_n) = m, quel que soit n. Même sur trois observations, la moyenne d’échantillon ne se trompe pas en moyenne.
On dit qu’elle est un estimateur sans biais de m. C’est le vocabulaire de la statistique inférentielle, et il commence ici.
Le second : elle devient de plus en plus précise
\sigma(\overline{X}_n) = \sigma/\sqrt{n} décroît vers zéro. La moyenne se resserre autour de m.
Mais elle décroît en racine de n, non en n. Quadrupler la taille de l’échantillon ne divise l’erreur que par deux.
La règle du \sqrt{n}, en gestion
Le coût de la précision
Un institut de sondage veut réduire de moitié sa marge d’erreur. Il doit quadrupler son échantillon, donc à peu près quadrupler son budget.
| Précision voulue | Taille nécessaire |
|---|---|
| \pm 3\,\% | \approx 1\,100 |
| \pm 1{,}5\,\% | \approx 4\,400 |
| \pm 0{,}75\,\% | \approx 17\,800 |
La précision est un bien à rendement fortement décroissant. C’est pourquoi les sondages s’arrêtent tous autour de mille personnes.
Le théorème
L’énoncé
Loi des grands nombres
Soit X_1, X_2, \dots des variables indépendantes, de même loi, d’espérance m finie. Alors
\overline{X}_n \;\longrightarrow\; m \qquad\text{quand } n \to \infty
La moyenne empirique converge vers l’espérance.
Pourquoi c’est vrai, en une phrase
La moyenne est centrée sur m et son écart-type \sigma/\sqrt{n} tend vers zéro.
Une variable centrée sur m dont la dispersion s’annule ne peut converger que vers m. Le théorème n’est rien de plus que cette observation, rendue rigoureuse.
Ce que la figure montre
La boucle est bouclée
Le cas de l’indicatrice
Prenons X_i = 1 si l’événement A se produit à la i-ième répétition, 0 sinon. Alors
\overline{X}_n = \text{fréquence observée de } A \qquad\text{et}\qquad E(X_i) = P(A)
Le théorème dit donc : la fréquence converge vers la probabilité.
La définition de l’introduction est désormais un théorème
Ce que le premier chapitre posait comme une définition empirique est maintenant une conséquence des axiomes.
L’édifice est cohérent : on est parti de la fréquence, on a construit un calcul, et le calcul redonne la fréquence.
Les limites à connaître
Ce que le théorème ne dit pas
Trois contresens fréquents
- Il ne dit pas que la moyenne atteint m : elle s’en approche, sans jamais s’y fixer.
- Il ne dit rien sur la vitesse — c’est le chapitre 20 qui la donne.
- Il ne dit rien sur la prochaine observation. Absolument rien.
L’erreur du joueur, une dernière fois
« Le rouge est sorti dix fois : le noir doit rattraper. » C’est faux.
La roulette n’a pas de mémoire. Le déséquilibre n’est pas compensé par des tirages contraires : il est dilué par le nombre. Dix rouges d’avance sur cent tours pèsent lourd ; sur un million, ils ne pèsent plus rien.
La loi des grands nombres n’annule pas les écarts, elle les rend négligeables.
L’hypothèse la plus fragile
Il faut l’indépendance et l’identité de distribution
Sans indépendance, les variances ne s’additionnent plus et \sigma(\overline{X}_n) peut ne pas tendre vers zéro.
Sans loi commune, il n’y a pas de m vers lequel converger.
Où l’hypothèse tombe, en pratique
- Un assureur qui couvre mille maisons du même quartier : une seule tempête les frappe toutes.
- Une banque dont les emprunteurs vivent de la même économie.
- Un sondage dont les répondants se recrutent dans le même réseau.
Le nombre ne protège que si les risques sont vraiment indépendants. C’est la raison d’être de la réassurance et de la diversification géographique.
L’application majeure
Le principe de l’assurance
Pourquoi le métier est possible
Un assureur ignore totalement quelle maison brûlera. Mais il sait, avec une précision croissante, combien brûleront.
\sigma(\overline{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\longrightarrow\; 0
Sur cent contrats, la charge moyenne est très incertaine. Sur cent mille, elle est presque connue d’avance.
La mutualisation, en une ligne
L’assurance ne supprime aucun risque individuel : elle le remplace par une moyenne, dont la loi des grands nombres garantit la stabilité.
C’est le seul théorème mathématique sur lequel repose une industrie entière.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- E(\overline{X}_n) = m : la moyenne d’échantillon est sans biais.
- \sigma(\overline{X}_n) = \sigma/\sqrt{n} : elle se resserre, mais en racine de n.
- Quadrupler l’échantillon divise l’erreur par deux : la précision coûte cher.
- Loi des grands nombres : \overline{X}_n \to m ; pour une indicatrice, la fréquence tend vers la probabilité.
- Elle ne dit rien sur la prochaine observation : les écarts sont dilués, non compensés.
- Elle exige indépendance et loi commune ; sans cela, le nombre ne protège pas.
La suite
Nous savons vers quoi la moyenne converge. Nous ne savons pas comment elle est distribuée autour de cette limite.
Le chapitre 20 y répond — et la réponse est le résultat le plus surprenant de tout le cours.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)