Modélisation GARCH de la volatilité
Le cadre de la variance conditionnelle
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 2 : Le cadre de la variance conditionnelle
Avant de commencer
La difficulté à surmonter
La stationnarité au sens faible exige une variance constante. Les données exigent une variance changeante.
Il n’y a contradiction que si l’on confond deux objets. Ce chapitre les sépare.
Conditionnel et inconditionnel
Les deux variances
Variance inconditionnelle : \sigma^2 = \mathrm{V}(r_t) = \mathrm{E}\big[(r_t-\mu)^2\big] Une constante, calculée sur toute la série.
Variance conditionnelle : h_t = \mathrm{V}\big(r_t \mid \Omega_{t-1}\big) = \mathrm{E}\big[(r_t-\mu)^2 \mid \Omega_{t-1}\big] Une variable aléatoire, fonction de l’information disponible la veille.
Le lien entre les deux
\sigma^2 = \mathrm{E}\big(h_t\big) . La variance inconditionnelle est la moyenne des variances conditionnelles.
\sigma^2 est la température moyenne de l’année ; h_t est la météo de demain. Les deux existent, elles ne se contredisent pas, et c’est la seconde qui intéresse celui qui doit décider aujourd’hui.
Le processus reste stationnaire au sens faible tant que \mathrm{E}(h_t) est finie et constante. Rien n’interdit à h_t de fluctuer autour de cette moyenne — c’est même exactement ce qu’on va modéliser.
L’écriture standard
La décomposition
r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\;z_t, \qquad z_t \sim \mathrm{i.i.d.}(0,1).
Trois objets, trois rôles :
- \mu_t = \mathrm{E}(r_t \mid \Omega_{t-1}) : l’équation de moyenne, celle du cours ARMA ;
- h_t : l’équation de variance, l’objet de ce cours ;
- z_t : l’innovation standardisée, dont la loi fera l’objet du chapitre 9.
Vérifier que la décomposition tient
\mathrm{E}\big(\varepsilon_t \mid \Omega_{t-1}\big) = \sqrt{h_t}\,\mathrm{E}(z_t) = 0 \mathrm{V}\big(\varepsilon_t \mid \Omega_{t-1}\big) = h_t\,\mathrm{V}(z_t) = h_t
h_t doit être mesurable par rapport à \Omega_{t-1} : entièrement déterminée par l’information de la veille. C’est ce qui permet de la sortir de l’espérance conditionnelle comme une constante.
Concrètement : h_t ne peut dépendre que de \varepsilon_{t-1}, \varepsilon_{t-2}, \dots et de h_{t-1}, h_{t-2},\dots — jamais de \varepsilon_t.
Ce que z_t apporte
h_t porte toute la dynamique : c’est elle qui monte et descend.
z_t porte toute la forme de la loi : symétrie, épaisseur des queues. Elle est i.i.d., donc sans mémoire.
Deux questions séparées, qu’on pourra traiter séparément — c’est ce qui rend le modèle maniable.
Le lien avec l’ARMA
Les deux équations se complètent
\underbrace{A(L)\,r_t = \theta + B(L)\,\varepsilon_t}_{\text{équation de moyenne : cours ARMA}}, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t, \qquad \underbrace{h_t = f(\Omega_{t-1})}_{\text{équation de variance : ce cours}}
Sur données financières quotidiennes, l’équation de moyenne se réduit presque toujours à une constante : r_t = \theta + \varepsilon_t.
Ce n’est pas un appauvrissement du modèle, c’est un résultat empirique. Toute la structure est dans la variance.
Ce que le GARCH ne change pas
La prévision ponctuelle reste celle de l’ARMA : \hat{r}_{T+1} = \hat\theta.
Les estimateurs de l’équation de moyenne restent convergents, même si l’on ignore l’hétéroscédasticité.
Ce qui change, ce sont les écarts-types, les intervalles et les quantiles — c’est-à-dire tout ce qui touche au risque.
Ce qu’il faut construire
Le cahier des charges de h_t
- Positivité : h_t > 0 pour toute réalisation, sans exception.
- Mesurabilité : h_t ne dépend que de \Omega_{t-1}.
- Persistance : un choc doit élever h_t durablement, pas une seule période.
- Stationnarité : \mathrm{E}(h_t) doit exister et être finie.
Chaque exigence prise isolément est facile. C’est de les satisfaire ensemble qui a demandé du temps — et qui explique la forme, à première vue arbitraire, de l’équation ARCH.
Ce que l’on rejette d’emblée
La variance glissante h_t = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\varepsilon_{t-i}^2 : simple, mais donne le même poids à un choc d’hier et à un choc d’il y a m jours, puis un poids nul le lendemain. Les sauts de h_t à l’entrée et à la sortie de la fenêtre sont artificiels.
Le lissage exponentiel h_t = \lambda h_{t-1} + (1-\lambda)\varepsilon_{t-1}^2 : bien meilleur — c’est la méthode RiskMetrics — mais \lambda est imposé (0,94), non estimé, et le modèle n’a pas de variance de long terme.
Une variance déterministe du temps : ne réagit pas aux chocs, donc manque tout le phénomène.
Une forme paramétrique estimable, dont les coefficients se testent, qui possède une variance de long terme, et qui se prévoit à tout horizon. Le lissage exponentiel en apparaîtra au chapitre 12 comme un cas particulier contraint.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Variance inconditionnelle \sigma^2 : constante. Variance conditionnelle h_t : aléatoire, fonction de \Omega_{t-1}.
- Elles sont liées par \sigma^2 = \mathrm{E}(h_t) : aucune contradiction avec la stationnarité.
- Écriture standard : r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t, z_t i.i.d. centrée réduite.
- h_t doit être mesurable par rapport à \Omega_{t-1} : elle ne dépend jamais de \varepsilon_t.
- h_t porte la dynamique, z_t porte la forme de la loi.
- Cahier des charges : positivité, mesurabilité, persistance, stationnarité — ensemble.
Le cadre est posé. Il reste à proposer une forme pour h_t — et la plus simple qui satisfasse les quatre exigences est celle qu’Engle a écrite en 1982.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)