Modélisation GARCH de la volatilité
Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 6 : Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
Avant de commencer
Le problème à résoudre
Une mémoire longue exige beaucoup de paramètres. Beaucoup de paramètres, sur des carrés de résidus, donnent des estimations instables.
Le cours ARMA a déjà rencontré ce dilemme, et l’a résolu : on ajoute à l’équation le passé de la variable expliquée elle-même.
Le modèle
L’équation GARCH(1,1)
\boxed{\ h_t = \omega + \alpha_1\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1\,h_{t-1}\ } \omega > 0, \qquad \alpha_1 \ge 0, \qquad \beta_1 \ge 0 .
\beta_1 h_{t-1} : la variance d’aujourd’hui hérite de celle d’hier.
Un seul paramètre de plus que l’ARCH(1) — et il change tout, parce qu’il introduit une récursion.
Les trois termes, trois rôles
| Terme | Nom | Ce qu’il fait |
|---|---|---|
| \omega | constante | fixe le niveau de long terme |
| \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 | réaction | la variance répond au choc de la veille |
| \beta_1 h_{t-1} | persistance | la variance se souvient d’elle-même |
L’ARCH confondait réaction et persistance dans un seul jeu de coefficients. Le GARCH les sépare : \alpha_1 dit de combien la variance saute, \beta_1 dit combien de temps elle reste haute.
Sur données financières, on estime typiquement \alpha_1 \approx 0{,}10 et \beta_1 \approx 0{,}88 : réaction modeste, persistance très forte.
Le modèle général
h_t = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,\varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{p}\beta_j\,h_{t-j}, \qquad \boxed{\alpha_q \neq 0,\ \ \beta_p \neq 0}.
q est l’ordre ARCH (nombre de chocs retardés), p l’ordre GARCH (nombre de variances retardées). L’ordre d’écriture varie selon les auteurs et les logiciels — vérifier systématiquement la documentation avant d’interpréter une sortie.
Pourquoi GARCH(1,1) suffit
La mémoire infinie de deux paramètres
En substituant récursivement h_{t-1}, puis h_{t-2}, et ainsi de suite :
h_t = \frac{\omega}{1-\beta_1} + \alpha_1\sum_{j\ge0}\beta_1^{\,j}\,\varepsilon_{t-1-j}^2 .
Les poids \alpha_1\beta_1^{\,j} décroissent géométriquement. Tous les chocs passés comptent, avec un poids qui s’estompe à la vitesse \beta_1.
Un AR(1) était un MA(\infty) : peu de paramètres, mémoire illimitée. Un GARCH(1,1) est un ARCH(\infty) : deux paramètres, mémoire illimitée.
La décroissance n’est plus imposée comme dans l’ARCH à poids décroissants du chapitre 5 : sa vitesse, \beta_1, est estimée sur les données.
Ce que cela donne à voir
Ce que cela donne à voir (suite)
En haut les rentabilités, en bas la volatilité conditionnelle estimée. Elle monte franchement lors des chocs, puis redescend lentement — sur plusieurs semaines.
Comparez aux dents de scie de l’ARCH(1) du chapitre 3 : c’est \beta_1 qui fait toute la différence.
Le résultat empirique le plus robuste de la discipline
Hansen et Lunde (2005) comparent 330 modèles de volatilité sur des données de change et d’actions. Aucun ne bat significativement le GARCH(1,1) pour la prévision de la volatilité d’un taux de change.
Sur actions, seuls les modèles asymétriques — chapitres 10 et 11 — font mieux. La complexité supplémentaire ne paie que si elle capture l’effet de levier.
Commencer par un GARCH(1,1). N’aller au-delà que si un diagnostic précis le justifie — résidus encore hétéroscédastiques, ou asymétrie avérée. C’est la parcimonie du cours ARMA, appliquée à la variance.
La forme en écart à la moyenne
Réécriture
Avec \sigma^2 = \omega/(1-\alpha_1-\beta_1), l’équation devient :
h_t - \sigma^2 = \alpha_1\big(\varepsilon_{t-1}^2 - \sigma^2\big) + \beta_1\big(h_{t-1} - \sigma^2\big) .
L’écart de la variance à son niveau normal se transmet d’une période à l’autre au taux \alpha_1+\beta_1, augmenté de la surprise du jour.
C’est un processus de retour à la moyenne sur la variance — exactement l’Ornstein-Uhlenbeck du cours de calcul stochastique, en temps discret.
Une variante utile : le GARCH en composantes
h_t = q_t + \alpha_1(\varepsilon_{t-1}^2 - q_{t-1}) + \beta_1(h_{t-1} - q_{t-1}), q_t = \omega + \rho\,(q_{t-1}-\omega) + \varphi\,(\varepsilon_{t-1}^2 - h_{t-1}) .
La moyenne de long terme q_t cesse d’être constante : elle dérive lentement. On sépare une composante transitoire — les pics de quelques jours — d’une composante permanente — les régimes de volatilité qui durent des années.
Utile pour les horizons longs. Hors du programme, mais à connaître : c’est le pont vers les modèles à changement de régime.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- GARCH(1,1) : h_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}, avec \omega>0, \alpha_1,\beta_1 \ge 0.
- \alpha_1 mesure la réaction au choc, \beta_1 la persistance de la variance.
- Par substitution, un GARCH(1,1) est un ARCH(\infty) à poids \alpha_1\beta_1^{\,j} : mémoire infinie, deux paramètres.
- La vitesse de décroissance est estimée, non imposée.
- Forme en écart : h_t-\sigma^2 = \alpha_1(\varepsilon_{t-1}^2-\sigma^2) + \beta_1(h_{t-1}-\sigma^2) — retour à la moyenne.
- Le GARCH(1,1) est difficile à battre ; seuls les modèles asymétriques y parviennent sur actions.
Reste à établir les conditions sous lesquelles ce modèle tient : stationnarité, persistance, existence des moments. Et à voir ce qui se passe quand \alpha_1+\beta_1 approche 1 — ce qui est le cas sur presque toutes les données réelles.
Ressources du chapitre
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