Modélisation GARCH de la volatilité
Le modèle ARCH(q) d’Engle
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 3 : Le modèle ARCH(q) d’Engle
Avant de commencer
L’article fondateur
« Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation ».
Trois mots, trois idées : hétéroscédasticité — la variance change ; conditionnelle — elle dépend du passé ; autorégressive — elle dépend de son propre passé.
L’article ne porte pas sur la finance mais sur l’inflation britannique. Engle cherchait à mesurer l’incertitude inflationniste. C’est la finance qui s’est emparée du modèle, au point qu’on oublie son origine.
Le modèle ARCH(1)
L’équation
r_t = \mu + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t, \qquad z_t \sim \mathrm{i.i.d.}(0,1), \boxed{\ h_t = \omega + \alpha_1\,\varepsilon_{t-1}^2\ }, \qquad \omega > 0,\quad \alpha_1 \ge 0 .
La variance d’aujourd’hui est une constante, plus une part du carré du choc d’hier.
Un gros choc hier — dans un sens ou dans l’autre — élève la variance d’aujourd’hui. C’est la phrase de Mandelbrot, transformée en équation.
Pourquoi le carré
- Le signe ne doit pas compter. Une baisse de 3 % et une hausse de 3 % annoncent toutes deux de l’agitation. Le carré efface le signe.
- La positivité. \varepsilon_{t-1}^2 \ge 0 et \omega, \alpha_1 \ge 0 garantissent h_t > 0 quelle que soit la réalisation. Aucune contrainte à vérifier après coup.
- La cohérence dimensionnelle. h_t est une variance : elle doit s’exprimer en carrés de rentabilités.
Le carré efface le signe trop bien : il rend le modèle rigoureusement symétrique. Le fait 5 — l’effet de levier — est hors d’atteinte. On y reviendra au chapitre 10.
Ce qu’une trajectoire donne à voir
La courbe épaisse est \sqrt{h_t}. Elle saute dès qu’un gros choc survient, puis retombe dès la période suivante si le choc suivant est petit.
Retenez ce comportement en dents de scie : c’est la principale faiblesse de l’ARCH, et le chapitre 6 la corrigera.
Le modèle ARCH(q)
L’équation générale
h_t = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,\varepsilon_{t-i}^2 , \qquad \omega > 0, \quad \alpha_i \ge 0, \quad \boxed{\alpha_q \neq 0}.
Comme pour l’AR du cours précédent, la condition \alpha_q \neq 0 définit l’ordre : sans elle, un ARCH(3) dont \alpha_3 = 0 serait un ARCH(2), et la question « quel est l’ordre ? » n’aurait pas de sens.
C’est un modèle autorégressif, mais sur les carrés des chocs plutôt que sur la série elle-même. Le chapitre 8 montrera que cette analogie est bien plus qu’une image : c’est une identité algébrique.
Les contraintes de paramètres
| Contrainte | Ce qu’elle assure |
|---|---|
| \omega > 0 | la variance ne peut pas s’annuler |
| \alpha_i \ge 0 | positivité de h_t en toute circonstance |
| \sum_i \alpha_i < 1 | existence d’une variance inconditionnelle finie |
Si \sum\alpha_i \ge 1, chaque choc est amplifié plutôt qu’amorti : la variance diverge et le processus n’est plus stationnaire. C’est l’analogue exact de la condition |\alpha| < 1 de l’AR(1). Le chapitre 4 la démontre.
La variance de long terme
Le calcul
En prenant l’espérance de l’équation ARCH et en utilisant \mathrm{E}(\varepsilon_{t-i}^2) = \sigma^2 pour tout i :
\sigma^2 = \omega + \sigma^2\sum_{i=1}^{q}\alpha_i \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\ \sigma^2 = \frac{\omega}{1 - \sum_{i}\alpha_i}\ }
La variance inconditionnelle est entièrement déterminée par les paramètres.
Elle explose quand \sum\alpha_i \to 1 : la stationnarité se perd continûment, non brutalement.
Et \omega n’est pas la variance de long terme : il en est un déterminant, amplifié par la persistance — exactement comme la constante \theta d’un AR n’était pas son espérance.
La forme en écart à la moyenne
En remplaçant \omega par \sigma^2(1-\sum\alpha_i) :
h_t - \sigma^2 = \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\big(\varepsilon_{t-i}^2 - \sigma^2\big) .
La variance conditionnelle s’écarte de sa moyenne de long terme dans la mesure où les chocs récents ont été plus gros que la normale. Quand les chocs sont d’ampleur ordinaire, h_t revient vers \sigma^2.
Le modèle décrit donc un retour à la moyenne — sur la variance, non sur le niveau.
Ce que sait faire l’ARCH
Le bilan provisoire
| Fait | ARCH ? |
|---|---|
| 1. Rentabilités non corrélées | oui, par construction |
| 2. Queues épaisses | oui, même avec z_t gaussien |
| 3. Regroupement de la volatilité | oui, c’est son objet |
| 4. ACF lente des carrés | partiellement — voir ci-dessous |
| 5. Effet de levier | non, le modèle est symétrique |
| 6. Gaussianité par agrégation | oui |
Le problème du fait 4
L’ARCH(q) oublie tout au-delà de q périodes — comme un MA(q) oublie tout au-delà de q retards. Pour reproduire une ACF des carrés qui décroît lentement sur vingt ou trente retards, il faudrait q très grand.
Sur le jeu de données du cours, l’ACF de r_t^2 reste significative jusqu’au retard 20. Il faudrait donc estimer une vingtaine de paramètres \alpha_i, tous contraints positifs, tous mal estimés.
C’est exactement le problème que l’ARMA résolvait par la parcimonie — et la solution sera de même nature.
Bollerslev (1986) proposera d’ajouter à l’équation le passé de h_t elle-même. Deux paramètres suffiront alors là où il en fallait vingt. C’est le GARCH, et c’est le chapitre 6.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- ARCH(1) : h_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2. La variance dépend du carré du choc précédent.
- Le carré assure trois choses : indifférence au signe, positivité automatique, cohérence dimensionnelle.
- ARCH(q) : h_t = \omega + \sum_i \alpha_i\varepsilon_{t-i}^2, avec \omega>0, \alpha_i \ge 0, \alpha_q \neq 0.
- Stationnarité si \sum_i\alpha_i < 1 ; alors \sigma^2 = \omega/(1-\sum\alpha_i).
- Forme en écart : h_t - \sigma^2 = \sum_i\alpha_i(\varepsilon_{t-i}^2 - \sigma^2) — retour à la moyenne sur la variance.
- Deux faiblesses : mémoire trop courte, et symétrie irrémédiable.
Avant de corriger ces faiblesses, il faut établir ce que l’ARCH produit exactement : ses moments, son kurtosis, ses conditions de stationnarité. C’est là qu’on verra pourquoi les queues épaisses apparaissent sans qu’on les ait demandées.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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