Modélisation GARCH de la volatilité
La prévision de volatilité
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 15 : La prévision de volatilité
Avant de commencer
Ce qui change par rapport au cours ARMA
Le cours ARMA prévoyait la moyenne : la prévision devenait plate en deux ou trois pas, et l’exercice avait peu d’intérêt sur données financières.
Ici on prévoit la variance. Elle est fortement persistante, donc réellement prévisible sur plusieurs semaines. C’est la partie utile de la prévision financière.
La prévision à un pas
Le cas immédiat
\hat h_{T+1|T} = \omega + \alpha_1\varepsilon_T^2 + \beta_1 h_T .
\varepsilon_T et h_T sont connus à la date T. La prévision à un pas de la variance conditionnelle est donc exacte — ce n’est pas une estimation, c’est un calcul.
C’est une différence remarquable avec la prévision de la moyenne, où l’on ignore tout du choc à venir.
La prévision à plusieurs pas
La récursion
Pour h \ge 2, on remplace \varepsilon_{T+h-1}^2 par son espérance conditionnelle, qui vaut \hat h_{T+h-1|T} :
\hat h_{T+h|T} = \omega + (\alpha_1+\beta_1)\,\hat h_{T+h-1|T} .
\boxed{\ \hat h_{T+h|T} = \sigma^2 + \pi^{\,h-1}\big(\hat h_{T+1|T} - \sigma^2\big)\ }, \qquad \pi = \alpha_1+\beta_1 .
Lire cette formule
Trois enseignements
La prévision converge vers la variance de long terme \sigma^2, à la vitesse \pi.
Elle converge par le haut si l’on part d’une période agitée, par le bas si l’on part d’une période calme.
Et la convergence est lente : avec \pi = 0{,}99, il faut plus de deux mois pour combler la moitié de l’écart.
C’est là toute l’utilité opérationnelle du modèle. Un gérant qui sait que la volatilité restera élevée trois mois ajuste ses positions autrement que s’il la croyait revenue à la normale dès demain.
Le cas asymétrique
Si z_t est de loi symétrique, \mathrm{P}(\varepsilon_{T+k}<0) = 1/2, donc \hat h_{T+h|T} = \omega + \Big(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\Big)\hat h_{T+h-1|T} .
Au premier pas, le signe du dernier choc est connu et compte pleinement. Au-delà, on ignore le signe des chocs futurs : seule sa probabilité intervient, et elle vaut un demi.
L’effet de levier améliore donc surtout la prévision à court terme.
La volatilité multi-jours
L’agrégation
Comme les \varepsilon_t sont non corrélés, la variance de la somme est la somme des variances : \mathrm{V}\Big(\sum_{k=1}^{H}\varepsilon_{T+k}\ \Big|\ \Omega_T\Big) = \sum_{k=1}^{H}\hat h_{T+k|T} .
Bâle exige une VaR à dix jours. C’est exactement cette somme qu’il faut calculer, et non la variance à un jour multipliée par 10.
La règle de la racine carrée du temps
\sigma_{H\ \text{jours}} \ \approx\ \sqrt{H}\ \times\ \sigma_{1\ \text{jour}} .
Sous GARCH, la somme \sum_k \hat h_{T+k|T} n’est pas égale à H\,\hat h_{T+1|T}, sauf si \hat h_{T+1|T} = \sigma^2.
En période agitée (\hat h_{T+1} > \sigma^2), la règle surestime le risque à dix jours : elle propage la volatilité élevée sans tenir compte du retour à la moyenne.
En période calme, elle le sous-estime — et c’est le cas dangereux, celui qui précède les crises.
Évaluer une prévision
La difficulté propre à cet exercice
On prévoit h_{T+1}, mais h_{T+1} ne s’observe jamais. On ne dispose que de \varepsilon_{T+1}^2, qui en est un estimateur sans biais mais extrêmement bruité.
Sous normalité, \mathrm{V}(\varepsilon_t^2\mid\Omega_{t-1}) = 2h_t^2. L’écart-type du « signal » vaut donc \sqrt{2} fois le signal lui-même.
Les premières évaluations trouvaient un R^2 de 5 à 10 % pour la régression de \varepsilon_{t+1}^2 sur \hat h_{t+1}, et concluaient à l’inutilité des GARCH.
Andersen et Bollerslev (1998) ont montré que ce plafond est mécanique : même avec le vrai modèle, le R^2 ne peut pas dépasser environ 1/\kappa_z. Le GARCH prévoit bien ; c’est la mesure qui était mauvaise.
Les mesures employées
Volatilité réalisée : \mathrm{RV}_t = \sum_i r_{t,i}^2 sur les rendements intrajournaliers. Beaucoup moins bruitée — mais exige des données haute fréquence.
Fonctions de perte robustes : QLIKE, \ln \hat h + \varepsilon^2/\hat h, moins sensible aux valeurs extrêmes que l’erreur quadratique.
Évaluation indirecte : juger le modèle sur la qualité de la VaR qu’il produit — c’est l’objet du chapitre suivant, et c’est la voie la plus pertinente en gestion des risques.
La prévision de densité
Assembler les deux moitiés
r_{T+1} \mid \Omega_T \ \sim\ \mu + \sqrt{\hat h_{T+1|T}}\ \times\ \mathcal{L}_z , où \mathcal{L}_z est la loi choisie au chapitre 9.
\hat h_{T+1|T} vient de l’équation de variance : elle donne l’échelle.
\mathcal{L}_z vient de la loi des innovations : elle donne la forme.
Le produit des deux est la loi complète de la rentabilité de demain. Tout ce qui suit — quantiles, VaR, prix d’options — s’en déduit.
Le quantile conditionnel
q_{\alpha,\,T+1} = \mu + \sqrt{\hat h_{T+1|T}}\ \times\ z_{\alpha} , où z_\alpha est le quantile d’ordre \alpha de la loi de z.
\sqrt{\hat h_{T+1|T}} bouge tous les jours : c’est ce qui rend la mesure de risque conditionnelle.
z_\alpha est constant : c’est ce qui décide de la sévérité du seuil. Le chapitre 9 a montré qu’il passe de -2{,}33 à -3{,}09 selon la loi retenue.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- À un pas, \hat h_{T+1|T} se calcule exactement : tous ses arguments sont connus.
- À h pas : \hat h_{T+h|T} = \sigma^2 + \pi^{h-1}(\hat h_{T+1|T}-\sigma^2) — convergence vers \sigma^2 à la vitesse \pi.
- Sur H jours, la variance est la somme des variances prévues, non H fois celle du premier jour.
- La règle de la racine carrée du temps surestime en période agitée et sous-estime en période calme.
- La cible h_{t+1} est inobservable ; \varepsilon_{t+1}^2 en est un estimateur très bruité, d’où un R^2 mécaniquement faible.
- Densité prédictive : \hat h donne l’échelle, la loi de z donne la forme.
Il reste à transformer cette prévision en un nombre exploitable — celui que la réglementation exige, et sur lequel se calcule le capital d’une banque.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)