Modélisation GARCH de la volatilité
Détecter et identifier un effet ARCH
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 5 : Détecter et identifier un effet ARCH
Avant de commencer
L’étape d’identification, transposée
Identifier, estimer, valider. La seule différence : on ne travaille plus sur r_t mais sur \hat\varepsilon_t^2 — les carrés des résidus de l’équation de moyenne.
L’ordre des opérations
Ne jamais commencer par la variance
- Estimer et valider l’équation de moyenne (ARMA) ;
- récupérer ses résidus \hat\varepsilon_t ;
- puis seulement examiner \hat\varepsilon_t^2.
Une autocorrélation de la moyenne non traitée se retrouve dans les résidus, et de là dans leurs carrés. On conclurait à un effet ARCH là où il n’y a qu’un AR mal spécifié.
Sur données financières quotidiennes, l’étape 1 aboutit presque toujours à r_t = \theta + \varepsilon_t — mais il faut l’avoir vérifié.
Le test ARCH de Engle
Le principe
Régresser le carré des résidus sur ses propres retards : \hat\varepsilon_t^2 = a_0 + a_1\hat\varepsilon_{t-1}^2 + \dots + a_m\hat\varepsilon_{t-m}^2 + u_t . H_0 : a_1 = \dots = a_m = 0 \quad \text{(homoscédasticité conditionnelle)}. La statistique est T\!\cdot\!R^2 \sim \chi^2_m sous H_0.
Sous H_0, aucun retard n’explique quoi que ce soit, donc R^2 \approx 0. Plus les carrés passés expliquent le carré présent, plus R^2 monte — et T\!\cdot\!R^2 avec lui. C’est la forme habituelle d’un test LM.
Sur les données du cours
T\!\cdot\!R^2 = 274{,}5 \quad \text{avec } m = 12, \qquad p\text{-valeur} < 10^{-50} . La valeur critique du \chi^2_{12} à 5 % est 21{,}0. On rejette massivement.
Sur des rentabilités quotidiennes, le test ARCH est toujours rejeté, quel que soit l’actif et quelle que soit la période. Un résultat non significatif doit faire soupçonner une erreur de manipulation — série mensuelle, échantillon trop court, ou données déjà lissées.
Le test de Ljung-Box sur les carrés
Appliquer la statistique de Ljung-Box du cours ARMA à la série \hat\varepsilon_t^2 : Q_{\mathrm{LB}}(m) = T(T+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat\rho_k^2\big(\hat\varepsilon^2\big)}{T-k} \ \sim\ \chi^2_m .
Q_{\mathrm{LB}}(20) = 968{,}1 contre une valeur critique de 31{,}4.
Les deux, et ils concordent presque toujours. Le test ARCH est plus ciblé — il teste la forme autorégressive précise du modèle ; Ljung-Box est plus général — il détecte toute dépendance linéaire des carrés. Les logiciels affichent souvent les deux.
Identifier l’ordre
Le corrélogramme des carrés
Le corrélogramme des carrés (suite)
Si \varepsilon_t^2 se comporte comme un AR, alors la PACF de \varepsilon_t^2 coupe après q retards — exactement comme celle d’un AR(p) coupait après p.
La PACF des carrés ne coupe pas : elle s’étire. Ce n’est pas une anomalie — c’est le signe qu’il faudrait un q très élevé, donc que l’ARCH n’est pas le bon modèle.
Cette lecture ratée est en elle-même une information : elle annonce le GARCH.
Choisir q par les critères d’information
Estimer les ARCH(q) pour q = 1, \dots, 10, et retenir le minimum de l’AIC ou du BIC — les critères du cours ARMA, appliqués à la log-vraisemblance du modèle de variance.
Le critère continue de décroître jusqu’à q = 8, 10, parfois davantage. Ce n’est pas que le vrai modèle soit un ARCH(10) : c’est qu’un ARCH d’ordre élevé approche une structure plus économe.
Un modèle qui exige dix paramètres pour représenter un phénomène simple est un modèle mal spécifié.
Deux difficultés de l’ARCH d’ordre élevé
Les contraintes butent. Il faut \alpha_i \ge 0 pour tout i ; l’optimiseur pousse plusieurs coefficients sur la borne zéro, et les écarts-types deviennent ininterprétables.
Les paramètres sont mal estimés. Dix coefficients sur les carrés de résidus — série très bruitée — donnent des estimations instables d’un sous-échantillon à l’autre.
Une solution intermédiaire
L’ARCH à poids décroissants
Imposer une décroissance linéaire des poids : \alpha_i = \alpha\,\frac{q+1-i}{\sum_{j=1}^{q}(q+1-j)} , \qquad i = 1,\dots,q . Un seul paramètre \alpha à estimer, quel que soit q.
Le nombre de paramètres est ramené à un, et la positivité est acquise. Mais la forme de la décroissance est imposée, non estimée — et rien ne garantit que les données la suivent.
Bollerslev fera mieux : obtenir une décroissance géométrique, dont la vitesse est estimée, avec un seul paramètre supplémentaire.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Toujours valider l’équation de moyenne avant d’examiner les carrés des résidus.
- Test ARCH de Engle : régresser \hat\varepsilon_t^2 sur ses retards, T\!\cdot\!R^2 \sim \chi^2_m.
- Ljung-Box sur les carrés : plus général, mêmes conclusions en pratique.
- Sur données financières quotidiennes, le rejet est systématique et massif.
- La PACF des carrés devrait couper après q ; sur données réelles elle ne coupe pas.
- Les critères d’information poussent q vers 8 ou 10 : le signe qu’il faut changer de modèle.
Tous les indices convergent : il faut une mémoire longue avec peu de paramètres. La solution reprend exactement le procédé qui, dans le cours ARMA, faisait passer du MA au ARMA.
Ressources du chapitre
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