Modélisation GARCH de la volatilité

Mise en œuvre sur R

Modélisation GARCH de la volatilité

Modélisation GARCH de la volatilité

Chapitre 17 : Mise en œuvre sur R

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

Le jeu de données

Le fichier rentabilites.csv

2 500 rentabilités quotidiennes simulées, livrées avec le cours. Le mécanisme générateur est un GJR-GARCH à innovations de Student : aucune mémoire en niveau, forte persistance de la volatilité, effet de levier.

Pourquoi simulées

Parce qu’on connaît la réponse. On peut vérifier que la démarche retrouve la persistance, l’asymétrie et l’épaisseur des queues qu’on y a mises — et rien d’autre. Sur données réelles, cette vérification est impossible.

Les bibliothèques

install.packages(c("rugarch", "FinTS", "moments", "tseries"))
library(rugarch)   # ugarchspec, ugarchfit, ugarchforecast
library(FinTS)     # ArchTest
library(moments)   # skewness, kurtosis

Étape 1 — Décrire et détecter

Charger et décrire

don <- read.csv("rentabilites.csv")
r <- don$rentabilite
T <- length(r)                                  # 2500

c(moyenne = mean(r), ecart_type = sd(r),
  asymetrie = skewness(r), kurtosis = kurtosis(r))
   moyenne ecart_type  asymetrie   kurtosis
    0.0200     1.1060    -0.2900     6.0500
Trois faits stylisés, en une ligne

Kurtosis de 6{,}05 contre 3 : queues épaisses. Asymétrie négative : les baisses sont plus marquées. Écart-type de 1{,}1\,\% par jour, soit 17{,}5\,\% annualisé.

L’équation de moyenne, d’abord

Box.test(r, lag = 20, type = "Ljung-Box")
X-squared = 17.033, df = 20, p-value = 0.6516
Conclusion

Non rejeté : aucune autocorrélation. L’équation de moyenne se réduit à une constante, exactement comme le cours ARMA l’annonçait.

On peut passer à la variance — et seulement parce que cette étape a été faite.

Détecter l’effet ARCH

Box.test(r^2, lag = 20, type = "Ljung-Box")
ArchTest(r, lags = 12)
X-squared = 968.13, df = 20, p-value < 2.2e-16

ARCH LM-test
Chi-squared = 274.53, df = 12, p-value < 2.2e-16
Le contraste, en deux nombres

Q_{\mathrm{LB}}(20) vaut 17{,}0 sur r_t et 968{,}1 sur r_t^2. Non corrélées, mais très loin d’être indépendantes.

Étape 2 — Estimer

Le GARCH(1,1) gaussien

spec <- ugarchspec(
  variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1, 1)),
  mean.model     = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = TRUE),
  distribution.model = "norm")
g_norm <- ugarchfit(spec, data = r)
        Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)
mu      0.057500    0.019800    2.904  0.003683
omega   0.020500    0.005100    4.020  0.000058
alpha1  0.100000    0.014200    7.042  0.000000
beta1   0.887300    0.015900   55.805  0.000000

LogLikelihood : -3543.2      Bayes (BIC) : 7117.8

Le GARCH(1,1) gaussien (suite)

Trois lectures immédiates

Persistance \hat\pi = 0{,}100+0{,}887 = 0{,}987. Demi-vie \ln 0{,}5/\ln 0{,}987 = 53 jours.

Variance de long terme 0{,}0205/(1-0{,}987) = 1{,}58, soit une volatilité de 1{,}26\,\% par jour.

Tous les coefficients sont massivement significatifs — c’est la règle sur ce type de données.

Passer à la loi de Student

spec_t <- ugarchspec(
  variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1, 1)),
  mean.model     = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = TRUE),
  distribution.model = "std")           # std = Student
g_t <- ugarchfit(spec_t, data = r)
        Estimate  Std. Error   t value
mu      0.044400    0.018900     2.349
omega   0.019500    0.006300     3.095
alpha1  0.099500    0.017100     5.819
beta1   0.889900    0.018200    48.896
shape   6.460000    0.812000     7.956

LogLikelihood : -3491.0      Bayes (BIC) : 7021.1
Le gain

Le BIC passe de 7\,117{,}8 à 7\,021{,}1 : 97 points pour un paramètre. Le seuil usuel d’un écart significatif est de 10.

shape = \hat\nu = 6{,}46 : queues nettement plus épaisses que la normale.

Tester l’asymétrie

signbias(g_t)
                   t-value    prob sig
Sign Bias           2.8140  0.0049  ***
Negative Sign Bias  3.1620  0.0016  ***
Joint Effect       18.4300  0.0004  ***
Verdict

Rejet net : il reste de l’asymétrie que le GARCH symétrique ne capte pas. Il faut un GJR.

Le GJR-GARCH

spec_gjr <- ugarchspec(
  variance.model = list(model = "gjrGARCH", garchOrder = c(1, 1)),
  mean.model     = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = TRUE),
  distribution.model = "std")
g_gjr <- ugarchfit(spec_gjr, data = r)
        Estimate  Std. Error   t value  Pr(>|t|)
mu      0.030700    0.018600     1.651  0.098800
omega   0.023200    0.006600     3.515  0.000440
alpha1  0.043400    0.015300     2.837  0.004556
beta1   0.886200    0.018400    48.163  0.000000
gamma1  0.115700    0.028100     4.117  0.000038
shape   6.620000    0.851000     7.779  0.000000

LogLikelihood : -3476.8      Bayes (BIC) : 7000.5

Le GJR-GARCH (suite)

La lecture du coefficient d’asymétrie

\hat\gamma = 0{,}116, significatif à 4{,}1 écarts-types. Un choc négatif pèse 0{,}043+0{,}116 = 0{,}159 contre 0{,}043 pour un choc positif : près de quatre fois plus.

Persistance : 0{,}043 + 0{,}116/2 + 0{,}886 = 0{,}987.

Étape 3 — Valider

Les résidus standardisés

z <- residuals(g_gjr, standardize = TRUE)
Box.test(z,   lag = 20, type = "Ljung-Box")
Box.test(z^2, lag = 20, type = "Ljung-Box")
z    : X-squared =  9.72, df = 20, p-value = 0.9738
z^2  : X-squared = 27.10, df = 20, p-value = 0.1320

Les résidus standardisés (suite)

Les résidus standardisés (suite 2)

Le résultat central du cours

Q_{\mathrm{LB}}(20) sur les carrés passe de 968 à 27. Le modèle a absorbé la totalité de la dépendance de la variance.

Le diagramme quantile-quantile

plot(g_gjr, which = 9)      # QQ-plot des résidus standardisés

Lecture

Contre la normale, les points décrochent aux deux extrémités. Contre la Student estimée, ils suivent la droite jusque dans les queues : la loi choisie convient.

Comparer les trois modèles

sapply(list(g_norm, g_t, g_gjr), infocriteria)[2, ]   # ligne 2 = BIC
GARCH-norm  GARCH-t   GJR-t
   7117.8    7021.1  7000.5

Étape 4 — Prévoir le risque

La prévision de volatilité

p <- ugarchforecast(g_gjr, n.ahead = 60)
head(sigma(p), 3)
tail(sigma(p), 1)
[1] 0.7412 0.7534 0.7651
[60] 1.1893
Le retour à la moyenne, en trois nombres

La volatilité prévue part de 0{,}74\,\% — le marché est calme en fin d’échantillon — et remonte lentement vers 1{,}19\,\% à soixante jours.

C’est exactement la courbe du chapitre 15 : convergence par le bas, à la vitesse \pi = 0{,}987.

La VaR conditionnelle par simulation filtrée

q1  <- quantile(z, 0.01)                    # quantile empirique des résidus
var_c <- coef(g_gjr)["mu"] + sigma(g_gjr) * q1
var_u <- quantile(r, 0.01)                  # seuil fixe, pour comparaison

c(depassements_conditionnelle   = sum(r < var_c),
  depassements_inconditionnelle = sum(r < var_u))
depassements_conditionnelle    depassements_inconditionnelle
                         25                               25

La VaR conditionnelle par simulation filtrée (suite)

Le backtesting

VaRTest(alpha = 0.01, actual = r, VaR = var_c)$uc.LRstat   # Kupiec
VaRTest(alpha = 0.01, actual = r, VaR = var_c)$cc.LRstat   # Christoffersen
Le résultat qui conclut le cours
Mesure Dépassements \mathrm{LR}_{uc} \mathrm{LR}_{ind} Verdict
conditionnelle 25 0{,}00 1{,}38 acceptée
inconditionnelle 25 0{,}00 16{,}22 rejetée
Même comptage, verdict opposé

Le seuil fixe a exactement le bon nombre de dépassements — et les groupe en grappes, dans les périodes de crise. C’est ce que le test d’indépendance détecte, et c’est ce que le GARCH corrige.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

L’essentiel du chapitre 17
  • Box.test sur r puis sur r^2 : 17{,}0 contre 968{,}1. Non corrélées, non indépendantes.
  • ugarchspec + ugarchfit : trois modèles emboîtés, à comparer par le BIC.
  • Loi de Student : -97 points de BIC. Asymétrie GJR : -21 de plus.
  • signbias teste l’effet de levier ; ici rejet net, \hat\gamma = 0{,}116.
  • Validation : Q_{\mathrm{LB}}(20) sur z^2 passe de 968 à 27.
  • ugarchforecast donne le retour à la moyenne ; VaRTest fait le backtesting.
Vers le chapitre 18

La même série, la même démarche, les mêmes chiffres — en Python. Non par redondance, mais pour vérifier que la méthode ne doit rien à l’outil.

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