Modélisation GARCH de la volatilité
De la volatilité à la Value at Risk
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 16 : De la volatilité à la Value at Risk
Avant de commencer
Le chapitre où la compétence devient utile
Une VaR est un quantile de la densité prédictive. Le cours a construit cette densité au chapitre 15. Il ne reste qu’à la lire au bon endroit — et à vérifier que la lecture est correcte.
La VaR conditionnelle
Définition
La perte que l’on ne dépassera qu’avec probabilité \alpha : \mathrm{P}\big(r_{T+1} < -\mathrm{VaR}_\alpha \mid \Omega_T\big) = \alpha .
\boxed{\ \mathrm{VaR}_{\alpha,\,T+1} = -\Big[\hat\mu + \sqrt{\hat h_{T+1|T}}\ z_\alpha\Big]\ }
\hat\mu vient de l’équation de moyenne — cours ARMA.
\sqrt{\hat h_{T+1|T}} vient de l’équation de variance — chapitres 6 à 15.
z_\alpha vient de la loi des innovations — chapitre 9.
Conditionnelle et inconditionnelle
Inconditionnelle : \mathrm{VaR} = -\hat\mu - \hat\sigma\,z_\alpha, avec \hat\sigma l’écart-type de tout l’échantillon. Un seuil fixe.
Conditionnelle : \hat\sigma est remplacé par \sqrt{\hat h_{T+1|T}}. Un seuil qui change chaque jour.
Conditionnelle et inconditionnelle (suite)
Conditionnelle et inconditionnelle (suite 2)
La ligne bleue suit les données : elle s’élargit quand le marché s’agite, se resserre quand il se calme. La ligne orange ne bouge jamais.
Les points marquent les dépassements du seuil fixe. Ils ne sont pas répartis au hasard : ils se groupent, tous concentrés dans les périodes agitées.
Le backtesting
Le principe
d_t = \mathbf{1}\big\{r_t < -\mathrm{VaR}_{\alpha,t}\big\} . Si la VaR est correcte, (d_t) est une suite de Bernoulli indépendantes de paramètre \alpha.
Couverture : la fréquence des dépassements doit valoir \alpha.
Indépendance : les dépassements ne doivent pas se suivre.
Une mesure peut satisfaire la première et violer la seconde — et c’est précisément le défaut de la VaR inconditionnelle.
Le test de Kupiec
\mathrm{LR}_{uc} = -2\ln\frac{(1-\alpha)^{n-n_1}\alpha^{n_1}}{(1-\hat\pi)^{n-n_1}\hat\pi^{\,n_1}} \ \sim\ \chi^2_1 , \qquad \hat\pi = \frac{n_1}{n} .
| Mesure | Dépassements | Fréquence | \mathrm{LR}_{uc} |
|---|---|---|---|
| VaR conditionnelle | 25 / 2 500 | 1{,}00\ \% | 0{,}00 |
| VaR inconditionnelle | 25 / 2 500 | 1{,}00\ \% | 0{,}00 |
Sur le seul comptage, les deux mesures sont irréprochables. Une banque qui s’arrêterait là conclurait que le seuil fixe suffit.
Le test de Christoffersen
On modélise (d_t) comme une chaîne de Markov d’ordre 1 et l’on teste H_0 : \pi_{01} = \pi_{11} , où \pi_{ij} est la probabilité de dépasser sachant qu’on a dépassé (j=1) ou non (j=0) la veille. La statistique suit un \chi^2_1.
| Mesure | Paires consécutives | \mathrm{LR}_{ind} | Verdict |
|---|---|---|---|
| VaR conditionnelle | 1 | 1{,}38 | acceptée |
| VaR inconditionnelle | 4 | 16{,}22 | rejetée |
Valeur critique du \chi^2_1 à 5 % : 3{,}84.
Le test de Christoffersen (suite)
Même nombre de dépassements, verdict opposé. La VaR inconditionnelle échoue exactement là où elle devrait tenir : elle concentre ses erreurs dans les périodes de crise, c’est-à-dire au moment précis où le capital doit protéger.
Voilà à quoi sert un GARCH.
Le test conjoint
\mathrm{LR}_{cc} = \mathrm{LR}_{uc} + \mathrm{LR}_{ind} \ \sim\ \chi^2_2 . C’est le test que la réglementation retient, parce qu’il vérifie les deux propriétés à la fois.
Trois VaR sous GARCH
Les méthodes
Paramétrique : z_\alpha est le quantile théorique de la loi supposée — normale, Student, Student asymétrique.
Simulation historique filtrée : z_\alpha est le quantile empirique des résidus standardisés \hat z_t. Aucune hypothèse de loi.
Monte Carlo : simuler le modèle sur H jours et lire le quantile des trajectoires. Indispensable pour les horizons longs et les portefeuilles d’options.
La simulation historique filtrée
- Estimer le GARCH, extraire les résidus standardisés \hat z_t.
- Prendre le quantile empirique \hat z_{(\alpha)} de cet échantillon.
- Poser \mathrm{VaR}_\alpha = -\big[\hat\mu + \sqrt{\hat h_{T+1|T}}\ \hat z_{(\alpha)}\big].
Elle combine les deux forces : la dynamique vient du GARCH, la forme de la loi vient des données elles-mêmes — queues épaisses et asymétrie comprises, sans avoir à les paramétrer.
C’est elle qui produit les 25 dépassements parfaitement répartis du tableau précédent.
Ce que la méthode historique simple ne sait pas faire
La simulation historique non filtrée prend directement le quantile des rentabilités passées. Elle capte les queues épaisses, mais ignore complètement la dynamique : c’est une VaR inconditionnelle.
Elle réagit avec retard aux crises, et met des mois à revenir à la normale quand elles s’achèvent. Le filtrage par \sqrt{h_t} corrige exactement ce défaut.
L’expected shortfall
Au-delà de la VaR
\mathrm{ES}_\alpha = -\mathrm{E}\big[r_{T+1} \mid r_{T+1} < -\mathrm{VaR}_\alpha,\ \Omega_T\big] . La perte moyenne dans les cas où la VaR est dépassée.
La VaR ne dit rien de ce qui se passe au-delà du seuil : deux portefeuilles de même VaR peuvent avoir des pertes extrêmes très différentes.
Et la VaR n’est pas sous-additive : la VaR d’un portefeuille peut dépasser la somme des VaR de ses composantes, ce qui contredit l’idée même de diversification. L’ES, elle, est une mesure cohérente.
Depuis 2016, la réglementation bancaire a remplacé la VaR à 99 % par l’expected shortfall à 97,5 % pour le risque de marché.
Le calcul sous GARCH est identique : même \hat h_{T+1|T}, même loi de z, seule la fonctionnelle change.
Ce que le cours suivant fera
- Chapitre 1 : VaR linéaire paramétrique — la formule de ce chapitre, appliquée à un portefeuille.
- Chapitre 2 : simulation historique — et sa version filtrée, vue ici.
- Chapitre 3 : VaR Monte Carlo — la simulation, avec les trajectoires du calcul stochastique.
- Chapitre 5 : risque de modèle — ce qui se passe quand h_t est mal spécifiée.
La compétence acquise ici est l’équation de variance. Tous les modèles de VaR en ont besoin, et la plupart des erreurs de mesure du risque viennent de là — non de la formule du quantile.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- \mathrm{VaR}_{\alpha,T+1} = -[\hat\mu + \sqrt{\hat h_{T+1|T}}\,z_\alpha] : trois ingrédients, trois parties du cursus.
- Le backtesting exige deux propriétés : couverture (Kupiec) et indépendance (Christoffersen).
- Sur les données du cours, les deux VaR ont 25 dépassements ; seule la conditionnelle passe le test d’indépendance.
- La VaR inconditionnelle groupe ses échecs dans les crises — au pire moment.
- La simulation historique filtrée combine dynamique du GARCH et loi empirique : c’est la méthode de référence.
- Bâle III emploie l’expected shortfall à 97,5 %, qui se calcule de la même façon.
Toute la démarche est établie. Il reste à l’exécuter, sur les données du cours, en R puis en Python.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)