Modélisation GARCH de la volatilité
Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 1 : Regroupement de la volatilité et effet de levier
Avant de commencer
Deux faits qui commandent tout le reste
Le regroupement décide de la forme du modèle. L’effet de levier décide de sa symétrie. Ce sont les deux seules décisions de spécification que ce cours aura à prendre.
Le regroupement de volatilité
Ce que c’est, précisément
La probabilité d’une grande variation demain est plus élevée si une grande variation vient de se produire. Formellement : \mathrm{Corr}\big(r_t^2,\ r_{t-k}^2\big) > 0 \quad \text{et décroît lentement en } k .
Ce n’est pas une corrélation des rentabilités : le signe reste imprévisible. Après une forte baisse, il est plus probable que demain bouge beaucoup — pas qu’il baisse.
Amplitude prévisible, direction imprévisible : les deux affirmations sont parfaitement compatibles.
Trois explications économiques
- L’arrivée de l’information. Les nouvelles ne tombent pas régulièrement : elles se concentrent — résultats trimestriels, décisions de banque centrale, crises. La volatilité suit le rythme de l’information, non celui du calendrier.
- L’hétérogénéité des horizons. Un choc met du temps à se propager du trader intrajournalier au gérant de fonds de pension. Chacun réagit à son rythme, ce qui étale la réaction.
- Les contraintes de financement. Une baisse déclenche des appels de marge, qui forcent des ventes, qui font baisser les prix. Le mécanisme s’auto-entretient tant que le désendettement dure.
Une conséquence directe : les queues épaisses
Supposons que chaque jour la rentabilité soit gaussienne, mais avec une variance qui change de jour en jour. La loi inconditionnelle est alors un mélange de gaussiennes de variances différentes.
Un mélange de lois normales a toujours un kurtosis supérieur à 3. Les jours de forte variance produisent des valeurs extrêmes que la variance moyenne ne laissait pas attendre.
Autrement dit : le fait 2 — les queues épaisses — n’est pas un fait indépendant. Il découle du fait 3. Un modèle qui capture le regroupement produit les queues épaisses gratuitement.
La vérification, sur les données du cours
Rentabilités brutes : kurtosis = 6{,}05.
Rentabilités divisées par leur volatilité conditionnelle estimée, z_t = r_t/\sqrt{h_t} : kurtosis = 4{,}66.
Une bonne part de l’épaisseur des queues a disparu — celle qui venait du seul regroupement. Ce qui reste tiendra à la loi des innovations, et fera l’objet du chapitre 9.
L’effet de levier
Le fait
À ampleur égale, une baisse des cours fait davantage monter la volatilité future qu’une hausse.
Le fait (suite)
Le fait (suite 2)
Aucun modèle n’intervient ici : on classe simplement les journées selon leur rentabilité, et l’on regarde la volatilité réalisée des cinq jours suivants. La branche de gauche monte plus vite que celle de droite — l’écart moyen est de 19 % sur ce jeu de données, et couramment de 30 à 50 % sur des indices réels.
D’où vient le nom
Une entreprise financée par dette et fonds propres a un levier D/E. Si le cours de l’action baisse, E diminue tandis que D reste inchangé : le levier augmente mécaniquement.
Or plus le levier est élevé, plus la rentabilité des fonds propres est volatile. Une baisse rend donc l’action structurellement plus risquée.
L’effet de levier s’observe aussi sur les indices, sur les taux de change et sur les matières premières — où la notion de levier d’entreprise n’a aucun sens. L’ampleur observée dépasse d’ailleurs largement ce que le mécanisme comptable justifierait.
L’explication concurrente
La causalité est inversée : c’est la hausse anticipée de la volatilité qui fait baisser les cours. Si les investisseurs anticipent plus de risque, ils exigent une prime plus élevée, donc paient moins cher aujourd’hui.
Départager les deux mécanismes demande des données intrajournalières et reste débattu. Pour la modélisation, la question est sans conséquence : le fait est là, et il faut un modèle asymétrique. Les chapitres 10 et 11 en proposeront trois.
Ce que l’asymétrie interdit
Un modèle où la variance ne dépend du choc que par son carré — donc par \varepsilon_{t-1}^2 — est nécessairement symétrique : +2 et -2 y produisent exactement le même effet.
C’est le cas de l’ARCH et du GARCH. Ils reproduiront les faits 1 à 4, et échoueront sur le fait 5. C’est cet échec qui motivera les extensions.
La gaussianité par agrégation
Le sixième fait
Plus l’horizon s’allonge — du jour à la semaine, au mois, au trimestre — plus la loi des rentabilités se rapproche de la normale, et plus le kurtosis se rapproche de 3.
Une rentabilité mensuelle est la somme d’une vingtaine de rentabilités quotidiennes. Le théorème central limite s’applique — imparfaitement, car ces variables ne sont pas indépendantes, ce qui explique que la convergence soit lente.
Estimer un kurtosis demande beaucoup de données ; en estimer plusieurs, à différents horizons, en demande énormément. Sur dix ans de cotations quotidiennes, l’estimation à l’horizon mensuel repose sur 120 points : trop peu.
C’est un fait établi sur des séries longues — plusieurs décennies. Nous le prenons ici pour acquis, sans prétendre le démontrer.
Ce qu’il implique pour la pratique
À l’horizon quotidien, la dynamique de la volatilité domine : c’est là que le GARCH est indispensable. À l’horizon annuel, elle s’est largement moyennée, et l’hypothèse gaussienne redevient acceptable.
C’est pourquoi la réglementation bancaire raisonne en VaR à un ou dix jours, et non à un an.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Regroupement : r_t^2 est autocorrélé et décroît lentement. Amplitude prévisible, direction imprévisible.
- Trois causes : arrivée groupée de l’information, hétérogénéité des horizons, contraintes de financement.
- Les queues épaisses découlent du regroupement : un mélange de gaussiennes a un kurtosis supérieur à 3.
- Effet de levier : une baisse fait plus monter la volatilité qu’une hausse de même ampleur.
- Deux explications concurrentes — levier financier, retour de volatilité — mais un seul enjeu de modélisation : il faut de l’asymétrie.
- Un modèle en \varepsilon_{t-1}^2 est symétrique par construction : il ne pourra pas capter le fait 5.
Il reste à poser le cadre : comment écrire un modèle où la variance change à chaque date sans que le processus cesse d’être stationnaire.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)