Modélisation GARCH de la volatilité
Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Introduction : Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
Prérequis
Ce que ce cours suppose acquis
Modélisation ARMA, dont ce cours reprend exactement le point d’arrivée.
Stationnarité, autocorrélogramme, opérateur retard. La démarche de Box et Jenkins — identifier, estimer, valider. Le test de Ljung-Box et les critères d’information.
Ce que le cours établit lui-même
L’ARMA s’arrêtait sur un constat : les rentabilités ne sont pas corrélées, mais leurs carrés le sont fortement.
Tout ce cours consiste à transposer la démarche de Box et Jenkins de la moyenne vers la variance. Les outils sont les mêmes ; c’est l’objet qui change.
Avant de commencer
Le point de départ
Le cours de modélisation ARMA s’est achevé sur un constat précis, obtenu par le calcul.
| Test | Statistique | Conclusion |
|---|---|---|
| Ljung-Box sur r_t | 17{,}0 | non corrélées |
| Ljung-Box sur r_t^2 | 968{,}1 | fortement dépendantes |
Les rentabilités sont un bruit blanc faible : non corrélées. Elles ne sont pas un bruit blanc fort : pas indépendantes.
L’ARMA a épuisé ce qu’on pouvait dire de leur moyenne conditionnelle. Il reste tout à dire de leur variance conditionnelle.
Mandelbrot, 1963
Un article qui dérange
En examinant un siècle de cotations, Benoît Mandelbrot établit deux choses que la finance de l’époque tenait pour acquises — et qui sont fausses :
- les variations de prix ne suivent pas une loi normale ;
- les grandes variations se regroupent dans le temps.
« Les grands changements tendent à être suivis de grands changements, de l’un ou l’autre signe, et les petits changements par de petits changements. »
Tout le cours consiste à donner un modèle à cette observation — et il faudra attendre vingt ans pour qu’Engle y parvienne.
Pourquoi vingt ans
Le fait était visible sur n’importe quel graphique. Ce qui manquait, c’était une manière d’écrire un modèle où la variance change dans le temps sans que le processus cesse d’être stationnaire.
Mandelbrot proposait d’abandonner la variance finie — les lois de Lévy stables. Engle propose en 1982 de la garder, mais de la rendre conditionnelle. C’est cette seconde voie qui l’a emporté, et qui lui vaudra le prix Nobel en 2003.
Les faits stylisés
Ce que l’on observe sur toute série de rentabilités
- Absence d’autocorrélation des rentabilités.
- Queues épaisses : les extrêmes sont bien plus fréquents que sous la loi normale.
- Regroupement de la volatilité : les périodes agitées et calmes viennent par blocs.
- Autocorrélation lente des carrés et des valeurs absolues.
- Effet de levier : une baisse fait plus monter la volatilité qu’une hausse.
- Gaussianité par agrégation : plus l’horizon s’allonge, plus la loi se rapproche de la normale.
Ce ne sont pas six curiosités. Ce sont six contraintes : tout modèle proposé sera jugé sur sa capacité à les reproduire. Le cours les reprendra une par une, et le chapitre 12 dressera le bilan.
Fait 1 : aucune mémoire linéaire
À gauche, l’ACF de r_t : plate, tout est dans les bandes. Au centre et à droite, celles de |r_t| et de r_t^2 : significatives sur vingt retards, et elles décroissent lentement.
La série n’a aucune mémoire de son signe et beaucoup de mémoire de son amplitude.
Fait 2 : des queues épaisses
\kappa = \frac{\mathrm{E}\big[(r_t-\mu)^4\big]}{\big[\mathrm{V}(r_t)\big]^2}, \qquad \kappa = 3 \ \text{ pour une loi normale.}
Sur le jeu de données du cours : \kappa = 6{,}05. Sur des indices boursiers quotidiens, la valeur usuelle se situe entre 5 et 20.
Sous la loi normale, une perte de plus de trois écarts-types survient une fois tous les 750 jours — trois ans. Avec un kurtosis de 6, elle survient plusieurs fois par an. C’est toute la différence entre une VaR crédible et une VaR décorative.
Fait 3 : le regroupement de la volatilité
Des blocs. Des mois entiers où la série oscille faiblement, puis des périodes où elle s’agite, puis le calme revient.
Aucune tendance, aucune saisonnalité : la moyenne ne bouge pas. C’est l’amplitude qui a une dynamique.
De l’observation au modèle
Ce que les faits 3 et 4 disent ensemble
Si r_t^2 est autocorrélé, alors r_t^2 est prévisible à partir de son passé. Et r_t^2 est un estimateur — bruité mais sans biais — de la variance du jour.
Donc : la variance de demain se prévoit.
On tenait pour acquis qu’en finance rien ne se prévoit. C’est vrai du rendement. C’est faux de la volatilité — et c’est précisément la volatilité qui détermine le risque, donc le capital réglementaire, donc le prix des options.
L’idée d’Engle, en une ligne
h_t = \mathrm{V}\big(r_t \mid \Omega_{t-1}\big) La variance de la rentabilité du jour, sachant tout ce qu’on savait la veille. Elle change à chaque date, alors que la variance inconditionnelle \mathrm{V}(r_t) reste constante.
La série reste stationnaire au sens faible : sa variance globale existe et est finie. Ce qui varie, c’est ce qu’on en prévoit à chaque instant, compte tenu du passé récent. Le chapitre 2 explicite cette distinction.
Le programme du cours
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Mandelbrot (1963) : les rentabilités ne sont pas gaussiennes, et les grandes variations se regroupent.
- Six faits stylisés, qui serviront de cahier des charges à tout modèle.
- Rentabilités non corrélées, mais |r_t| et r_t^2 fortement autocorrélés.
- Kurtosis très supérieur à 3 : les extrêmes sont sous-estimés par la loi normale.
- r_t^2 étant prévisible, la variance de demain se prévoit — pas le rendement.
- Engle (1982) garde la variance finie et la rend conditionnelle : h_t = \mathrm{V}(r_t \mid \Omega_{t-1}).
Deux des six faits demandent un examen séparé, parce qu’ils commandent le choix du modèle : le regroupement de la volatilité, et son asymétrie — l’effet de levier.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)