Modélisation GARCH de la volatilité
L’effet de levier et l’EGARCH de Nelson
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 10 : L’effet de levier et l’EGARCH de Nelson
Avant de commencer
Le fait qui résiste
Dans h_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}, le choc n’intervient que par son carré. Donc \varepsilon_{t-1} = +2 et \varepsilon_{t-1} = -2 produisent rigoureusement la même variance.
Le fait 5 — l’effet de levier — est hors d’atteinte par construction.
La courbe d’impact
Un instrument de lecture
La fonction qui associe au choc de la veille la variance du jour, la variance de la veille étant fixée à son niveau de long terme : \mathrm{NIC}(\varepsilon) = h_t \ \big|\ \varepsilon_{t-1} = \varepsilon,\ h_{t-1} = \sigma^2 .
Comparer visuellement des modèles dont les équations n’ont rien de comparable. Pour le GARCH c’est une parabole, centrée en zéro et symétrique. Toute la question est de savoir comment la rendre asymétrique.
Un instrument de lecture (suite)
Le modèle EGARCH
L’équation
\boxed{\ \ln h_t = \omega + \alpha_1\Big(|z_{t-1}| - \mathrm{E}|z_{t-1}|\Big) + \lambda\,z_{t-1} + \beta_1 \ln h_{t-1}\ } avec z_{t-1} = \varepsilon_{t-1}/\sqrt{h_{t-1}}, le choc standardisé.
Trois innovations par rapport au GARCH, et chacune résout un problème distinct.
Innovation 1 : le logarithme
h_t = \exp(\cdot) est positif quoi qu’il arrive.
Aucune contrainte de signe à imposer aux paramètres. L’optimiseur travaille librement, ne bute sur aucune borne, et les écarts-types restent interprétables.
C’est l’argument qui fait préférer l’EGARCH quand les contraintes du GARCH deviennent gênantes.
Innovation 2 : le terme asymétrique
Ce terme est impair : il change de signe avec le choc.
\lambda < 0 : un choc négatif augmente \ln h_t, un choc positif le diminue. C’est exactement l’effet de levier.
| Choc | Terme \alpha_1|z| | Terme \lambda z | Total |
|---|---|---|---|
| z_{t-1} = +2 | +2\alpha_1 | +2\lambda | 2(\alpha_1+\lambda) |
| z_{t-1} = -2 | +2\alpha_1 | -2\lambda | 2(\alpha_1-\lambda) |
Avec \lambda<0, le second dépasse le premier : la baisse fait davantage monter la volatilité.
Innovation 3 : le choc standardisé
Le choc est rapporté à la volatilité du moment.
Une baisse de 2 % n’a pas le même sens en période calme et en pleine crise. Dans le premier cas c’est un événement rare ; dans le second, une journée ordinaire.
L’EGARCH mesure la surprise relative : c’est plus conforme à la façon dont un marché réagit.
Le test de l’effet de levier
H_0 : \lambda = 0 \quad \text{(pas d'effet de levier)} \qquad \text{contre} \qquad H_1 : \lambda < 0 . Test de Student ordinaire sur le coefficient estimé.
Sur indices boursiers, \hat\lambda est négatif et très significatif — souvent entre -0{,}05 et -0{,}15. Sur taux de change, il est proche de zéro : pas d’effet de levier, ce qui se comprend puisqu’une devise qui baisse est une autre qui monte.
Propriétés
Stationnarité
|\beta_1| < 1 .
C’est la seule condition. Il n’y a aucune contrainte de positivité, puisque le logarithme s’en charge.
La variance de long terme existe mais son expression est moins simple : l’espérance de \ln h_t se calcule aisément, celle de h_t demande de connaître la loi de z_t.
Les inconvénients
L’interprétation est moins directe. Les coefficients agissent sur le logarithme de la variance : leur lecture en pourcentage demande un passage à l’exponentielle.
La prévision à plusieurs pas est délicate. \mathrm{E}(\ln h_{t+k}) se calcule facilement, mais \mathrm{E}(h_{t+k}) non — et c’est cette dernière qu’il faut pour une VaR. On y revient au chapitre 15.
Le modèle réagit fort aux valeurs extrêmes. L’exponentielle amplifie : un z très grand peut produire une variance prévue démesurée.
Un exemple chiffré
Sur les données du cours
\ln h_t = -0{,}02 + 0{,}16\big(|z_{t-1}|-\mathrm{E}|z|\big) - 0{,}09\,z_{t-1} + 0{,}97\ln h_{t-1}
\hat\beta_1 = 0{,}97 : forte persistance, comme toujours.
\hat\lambda = -0{,}09, négatif : effet de levier confirmé.
Un choc de -2 écarts-types fait varier \ln h_t de 0{,}16 \times 2 + 0{,}09 \times 2 = 0{,}50, soit une variance multipliée par e^{0{,}50} = 1{,}65. Le même choc positif donne 0{,}16 \times 2 - 0{,}09\times 2 = 0{,}14, soit un facteur 1{,}15.
Une baisse de deux écarts-types fait monter la variance quatre fois plus qu’une hausse identique.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La courbe d’impact des nouvelles rend comparables des modèles d’écritures différentes.
- Le GARCH a une courbe d’impact symétrique : il ne peut pas capter le fait 5.
- EGARCH : \ln h_t = \omega + \alpha_1(|z_{t-1}|-\mathrm{E}|z|) + \lambda z_{t-1} + \beta_1\ln h_{t-1}.
- Le logarithme assure la positivité : aucune contrainte sur les paramètres.
- \lambda < 0 produit l’effet de levier ; on le teste par un simple test de Student.
- Stationnarité si |\beta_1|<1. Inconvénient : la prévision de h_{t+k} à plusieurs pas est délicate.
L’EGARCH règle le problème, mais au prix d’un changement d’échelle. Il existe une solution plus économe, qui garde l’équation en niveau et se contente d’ajouter un terme : le GJR-GARCH.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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