Modélisation GARCH de la volatilité
Stationnarité, persistance et variance de long terme
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 7 : Stationnarité, persistance et variance de long terme
Avant de commencer
La quantité qui gouverne tout
\boxed{\ \pi = \alpha_1 + \beta_1\ } Une seule quantité, dont dépendent la stationnarité, la variance de long terme, la vitesse d’oubli des chocs et la forme des prévisions.
La condition de stationnarité
L’énoncé
Le processus admet une variance inconditionnelle finie si et seulement si \pi = \alpha_1 + \beta_1 < 1 . Alors \sigma^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha_1 - \beta_1} .
La démonstration
En prenant l’espérance de l’équation GARCH et en utilisant \mathrm{E}(\varepsilon_{t-1}^2) = \mathrm{E}(h_{t-1}) = \sigma^2 :
\sigma^2 = \omega + \alpha_1\sigma^2 + \beta_1\sigma^2 = \omega + \pi\,\sigma^2 .
D’où \sigma^2(1-\pi) = \omega, et le résultat — à condition que \pi < 1, faute de quoi \sigma^2 serait négatif ou infini.
C’est le même calcul, la même conclusion et la même formule que \mu = \theta/(1-\alpha) pour un AR(1). Le GARCH est un modèle autorégressif — sur la variance.
Ce que \pi veut dire concrètement
| \pi | Comportement |
|---|---|
| \pi = 0 | variance constante : pas d’effet ARCH |
| \pi < 1 | stationnaire, retour à \sigma^2 |
| \pi = 1 | IGARCH : les chocs ne s’oublient jamais |
| \pi > 1 | explosif, non stationnaire |
La demi-vie d’un choc
Le calcul
Un choc élève h_t ; l’écart à la moyenne se transmet ensuite au taux \pi par période :
\mathrm{E}\big(h_{t+k} - \sigma^2 \mid \Omega_t\big) = \pi^{\,k}\big(h_t - \sigma^2\big) .
Le nombre de périodes au bout duquel la moitié de l’effet a disparu : k_{1/2} = \frac{\ln 0{,}5}{\ln \pi} .
Des ordres de grandeur
La sensibilité est extrême près de 1
| \pi | demi-vie |
|---|---|
| 0{,}80 | 3 jours |
| 0{,}90 | 7 jours |
| 0{,}95 | 14 jours |
| 0{,}98 | 34 jours |
| 0{,}99 | 69 jours |
| 0{,}995 | 138 jours |
Passer de 0{,}98 à 0{,}99 double la demi-vie. Deux estimations qui semblent proches décrivent des marchés très différents.
C’est pourquoi la troisième décimale de \hat\pi mérite qu’on la regarde — et pourquoi son écart-type d’estimation compte.
Sur les données du cours
\hat\alpha_1 = 0{,}0995, \qquad \hat\beta_1 = 0{,}8899, \qquad \hat\pi = 0{,}9893 . \hat\sigma^2 = \frac{0{,}0195}{1-0{,}9893} = 1{,}824 \quad \Longrightarrow \quad \hat\sigma = 1{,}35\,\% \ \text{par jour}. Demi-vie : 65 jours, soit environ trois mois de bourse.
\alpha_1 autour de 0{,}10, \beta_1 autour de 0{,}88, persistance entre 0{,}97 et 0{,}99 : c’est ce qu’on obtient sur presque tous les indices et toutes les actions liquides.
Une persistance très proche de 1, mais inférieure à 1 : le fait empirique central de cette littérature.
L’existence des moments
Deux conditions à ne pas confondre
\text{variance finie} \iff \alpha_1 + \beta_1 < 1 \text{kurtosis fini} \iff (\alpha_1+\beta_1)^2 + 2\alpha_1^2 < 1 \quad \text{(innovations gaussiennes)}
\kappa = 3\,\frac{1 - (\alpha_1+\beta_1)^2}{1 - (\alpha_1+\beta_1)^2 - 2\alpha_1^2} \ > \ 3 . Avec \alpha_1 = 0{,}10 et \beta_1 = 0{,}89 : la condition (0{,}99)^2 + 0{,}02 = 1{,}0001 > 1 échoue. Le kurtosis théorique est infini.
Deux conditions à ne pas confondre (suite)
Le processus reste parfaitement stationnaire et sa variance existe. C’est le moment d’ordre 4 qui n’existe pas.
Conséquence pratique : le kurtosis empirique ne converge pas quand T augmente, et les écarts-types d’estimation doivent être calculés de façon robuste — chapitre 13. Ce n’est pas une pathologie du modèle, c’est une propriété des marchés.
La stationnarité stricte
Un GARCH(1,1) est strictement stationnaire si \mathrm{E}\big[\ln(\alpha_1 z_t^2 + \beta_1)\big] < 0 , condition moins exigeante que \alpha_1+\beta_1<1 par l’inégalité de Jensen.
Un IGARCH — \alpha_1+\beta_1 = 1 — est strictement stationnaire, donc parfaitement utilisable, alors même que sa variance inconditionnelle est infinie.
Le modèle existe, ses trajectoires sont bien définies, on peut l’estimer et prévoir avec. Il n’a simplement pas de niveau de long terme vers lequel revenir. C’est l’objet du chapitre 12.
GARCH(1,1) dans le plan
La carte
| Région | Condition | Statut |
|---|---|---|
| stationnaire, moments d’ordre 4 | (\alpha_1+\beta_1)^2+2\alpha_1^2 < 1 | tout va bien |
| stationnaire, kurtosis infini | \alpha_1+\beta_1<1 mais moment 4 absent | usuel en finance |
| IGARCH | \alpha_1+\beta_1 = 1 | strictement stationnaire |
Presque toujours dans la deuxième région, tout près de la frontière IGARCH. C’est le fait empirique qui a motivé les modèles à mémoire longue du chapitre 12 — et qui rend la prévision à long horizon délicate.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La persistance \pi = \alpha_1+\beta_1 gouverne tout.
- Stationnarité au second ordre si \pi<1 ; alors \sigma^2 = \omega/(1-\pi).
- Un écart à la moyenne se transmet en \pi^k ; demi-vie = \ln 0{,}5/\ln\pi.
- Sur données réelles, \pi \approx 0{,}98–0{,}99 : demi-vie de un à trois mois.
- Le kurtosis exige une condition plus forte que la variance, souvent violée en finance.
- La stationnarité stricte est moins exigeante : un IGARCH reste utilisable.
Nous avons répété que le GARCH « est un modèle autorégressif sur la variance ». Le chapitre suivant montre qu’il ne s’agit pas d’une analogie mais d’une identité : un GARCH(p,q) est un ARMA sur les carrés.
Ressources du chapitre
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