Modélisation GARCH de la volatilité
IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 12 : IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
Avant de commencer
Le fait empirique qui pose problème
Sur presque toute série financière, la persistance estimée se situe entre 0{,}97 et 0{,}995. Son écart-type d’estimation est de l’ordre de 0{,}01.
On ne peut donc pas rejeter \pi = 1. Or à \pi = 1 la variance inconditionnelle n’existe plus. Ce chapitre examine trois réponses à cette situation.
Le modèle IGARCH
La spécification
On impose la contrainte \alpha_1 + \beta_1 = 1 : h_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + (1-\alpha_1)\,h_{t-1} . Un paramètre de moins à estimer.
Integrated — par analogie avec l’ARIMA. En termes de la dualité du chapitre 8, l’ARMA sur les carrés a une racine unitaire.
Un choc de volatilité ne s’estompe jamais : il déplace définitivement le niveau de la variance.
Ce que l’IGARCH implique
- Pas de variance inconditionnelle finie : \sigma^2 = \omega/0.
- Le processus reste strictement stationnaire — la condition du chapitre 7 est satisfaite.
- La prévision de volatilité ne converge vers aucun niveau : elle reste au niveau courant, avec une dérive due à \omega.
Avec \omega = 0 et \alpha_1 = 0{,}06 : h_t = 0{,}94\,h_{t-1} + 0{,}06\,\varepsilon_{t-1}^2 . C’est exactement le lissage exponentiel de RiskMetrics, la méthode que J.P. Morgan a diffusée en 1994 et qui reste la référence pratique dans beaucoup de salles de marché.
RiskMetrics est donc un IGARCH aux paramètres imposés, non estimés.
Faut-il y croire ?
Prise au sérieux : la volatilité n’a pas de niveau de long terme, les chocs sont permanents.
Prise comme un symptôme : la persistance apparente est un artefact. Si le niveau de volatilité change de régime au cours de l’échantillon — crise de 2008, pandémie de 2020 — un GARCH à paramètres constants interprète ces changements comme une persistance extrême.
Lamoureux et Lastrapes (1990) montrent qu’en introduisant des ruptures de niveau, la persistance estimée chute nettement.
C’est le même piège qu’au chapitre 8 du cours ARMA : une rupture structurelle se fait passer pour une racine unitaire. Le remède est identique — regarder la série, découper l’échantillon.
Le modèle GARCH-M
L’idée
Le risque entre dans l’équation de moyenne : r_t = \mu + \delta\,g(h_t) + \varepsilon_t , \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t , avec g(h_t) = h_t, \sqrt{h_t} ou \ln h_t selon les auteurs.
Un actif plus risqué doit rapporter davantage. \delta est la prime de risque, mesurée : le supplément de rentabilité exigé par unité de volatilité.
C’est le seul modèle du cours où l’équation de variance influence l’équation de moyenne — donc où le risque est rémunéré.
Ce que les données en disent
\hat\delta est le plus souvent positif mais non significatif sur données quotidiennes. Le signe est conforme à la théorie, l’ampleur est indiscernable de zéro.
Deux explications : la prime de risque se manifeste à des horizons longs — mensuels ou annuels — alors que le GARCH travaille au jour ; et le rapport signal sur bruit est très défavorable, puisqu’on a montré au cours précédent que \mu ne s’estime pas.
Parce que c’est le lien formel entre ce cours et la théorie financière — le MEDAF, la frontière efficiente. Et parce que son échec empirique est en soi un résultat : la relation risque-rendement n’est pas mesurable à l’échelle quotidienne.
La mémoire longue
Le constat
Sur séries longues, l’ACF de \varepsilon_t^2 décroît plus lentement qu’une exponentielle : elle suit une décroissance en puissance, \rho_k \ \sim\ k^{-\theta}, \qquad 0 < \theta < 1 .
Un GARCH stationnaire décroît en \pi^k — géométriquement. Une décroissance en k^{-\theta} est bien plus lente.
C’est ce qui explique que la persistance estimée soit toujours poussée vers 1 : le modèle tente d’imiter, avec une exponentielle, une décroissance qui n’en est pas une.
Le modèle FIGARCH
On introduit une différenciation fractionnaire d \in\, ]0,1[ dans l’ARMA sur les carrés : \phi(L)\,(1-L)^d\,\varepsilon_t^2 = \omega + \big[1-\beta(L)\big]v_t .
Défini par son développement en série : (1-L)^d = \sum_{j\ge0}\binom{d}{j}(-L)^j = 1 - dL - \frac{d(1-d)}{2}L^2 - \cdots
Le modèle FIGARCH (suite)
d = 0 : GARCH ordinaire, mémoire géométrique.
d = 1 : IGARCH, chocs permanents.
0 < d < 1 : mémoire longue — les chocs s’estompent, mais lentement, en puissance. C’est le régime intermédiaire qui manquait.
Ce qu’il faut en retenir
Le FIGARCH est difficile à estimer, coûteux en calcul, et son gain en prévision reste modeste sur des horizons courts.
Son intérêt est conceptuel : il montre que la persistance quasi unitaire des GARCH n’est pas nécessairement une racine unitaire, mais peut être la trace d’une mémoire longue — deux choses très différentes pour la prévision à long horizon.
Le tableau de la famille
Récapitulatif
| Modèle | Ce qu’il ajoute | À employer quand |
|---|---|---|
| ARCH(q) | variance conditionnelle | jamais seul, en pratique |
| GARCH(p,q) | persistance à peu de paramètres | cas de référence |
| GARCH-t | queues épaisses résiduelles | toujours en finance |
| GJR / EGARCH | effet de levier | actions et indices |
| IGARCH | persistance unitaire imposée | VaR rapide, style RiskMetrics |
| GARCH-M | prime de risque | horizons longs |
| FIGARCH | mémoire longue | recherche, séries très longues |
Un GJR-GARCH(1,1) à innovations de Student couvre l’essentiel des besoins. Tout le reste est une réponse à un diagnostic précis — et doit être justifié par ce diagnostic, non choisi par goût de la nouveauté.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- IGARCH : \alpha_1+\beta_1=1. Chocs permanents, pas de variance de long terme, mais stationnarité stricte préservée.
- RiskMetrics (\lambda = 0{,}94) est un IGARCH à paramètres imposés.
- Une persistance proche de 1 est souvent l’ombre d’une rupture de régime, comme une racine unitaire l’était au cours précédent.
- GARCH-M : le risque entre dans l’équation de moyenne ; \delta est la prime de risque, rarement significative au jour le jour.
- L’ACF des carrés décroît en puissance, non en exponentielle : c’est la mémoire longue.
- FIGARCH interpole entre GARCH (d=0) et IGARCH (d=1).
Les modèles sont posés. Il reste à les estimer, à les valider, à s’en servir pour prévoir — et à transformer cette prévision en un chiffre de risque.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)