Modélisation GARCH de la volatilité
GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d’impact
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 11 : GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d’impact
Avant de commencer
Une autre façon de rompre la symétrie
Garder l’équation du GARCH telle quelle, et ajouter un terme qui ne s’active que pour les chocs négatifs.
Pas de logarithme, pas de changement d’échelle : un seul paramètre de plus.
Le modèle GJR-GARCH
L’équation
\boxed{\ h_t = \omega + \big(\alpha_1 + \gamma\,I_{t-1}\big)\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}\ } I_{t-1} = \begin{cases} 1 & \text{si } \varepsilon_{t-1} < 0 \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}
C’est le procédé des variables qualitatives du cours d’économétrie : une indicatrice qui change la pente selon le régime.
Un choc positif pèse \alpha_1 ; un choc négatif pèse \alpha_1+\gamma.
Lire les paramètres
| Valeur de \gamma | Interprétation |
|---|---|
| \gamma = 0 | GARCH ordinaire, symétrique |
| \gamma > 0 | effet de levier : les baisses pèsent davantage |
| \gamma < 0 | asymétrie inverse, observée sur certaines matières premières |
H_0 : \gamma = 0 par un test de Student. C’est le test d’effet de levier le plus employé, parce qu’il ne demande aucun modèle supplémentaire et que le coefficient s’interprète en clair.
Les contraintes
\omega>0, \quad \alpha_1 \ge 0, \quad \alpha_1+\gamma \ge 0, \quad \beta_1 \ge 0 \text{stationnarité} : \quad \alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1 < 1 .
Si z_t est de loi symétrique, l’indicatrice vaut 1 une fois sur deux. En moyenne, le coefficient effectif du choc est donc \alpha_1 + \gamma/2.
La persistance d’un GJR est \pi = \alpha_1 + \gamma/2 + \beta_1, et la variance de long terme \sigma^2 = \omega/(1-\pi).
Sur les données du cours
h_t = 0{,}0232 + \big(0{,}0434 + 0{,}1157\,I_{t-1}\big)\varepsilon_{t-1}^2 + 0{,}8862\,h_{t-1}, \qquad \hat\nu = 6{,}62 .
Un choc positif pèse 0{,}043 ; un choc négatif pèse 0{,}043+0{,}116 = 0{,}159.
À ampleur égale, une baisse a près de quatre fois l’impact d’une hausse. C’est l’effet de levier, mesuré.
Persistance : 0{,}043 + 0{,}058 + 0{,}886 = 0{,}987.
Le gain, chiffré
| Modèle | log-vraisemblance | AIC | BIC |
|---|---|---|---|
| GARCH(1,1) normal | -3\,543{,}2 | 7\,094{,}5 | 7\,117{,}8 |
| GARCH(1,1) Student | -3\,491{,}0 | 6\,992{,}0 | 7\,021{,}1 |
| GJR-GARCH Student | -3\,476{,}8 | \mathbf{6\,965{,}5} | \mathbf{7\,000{,}5} |
Deux améliorations successives, toutes deux nettes : la loi de Student gagne 97 points de BIC, l’asymétrie en gagne 21 de plus.
Et l’ordre compte : on traite d’abord la loi, puis l’asymétrie. Une asymétrie estimée sous hypothèse gaussienne serait contaminée par les queues épaisses non modélisées.
Le modèle TGARCH
Une variante sur l’écart-type
\sqrt{h_t} = \omega + \alpha_1^{+}\,\varepsilon_{t-1}^{+} - \alpha_1^{-}\,\varepsilon_{t-1}^{-} + \beta_1\sqrt{h_{t-1}} , avec \varepsilon^{+} = \max(\varepsilon,0) et \varepsilon^{-} = \min(\varepsilon,0).
L’équation porte sur l’écart-type et sur le choc en valeur absolue, non sur leurs carrés.
Conséquence : le modèle est moins sensible aux valeurs extrêmes. Un choc de 5 écarts-types pèse 5 fois plus qu’un choc unitaire, non 25 fois. C’est un avantage réel sur données très agitées.
Le nom TGARCH — threshold — désigne selon les auteurs et les logiciels tantôt le modèle de Zakoïan, tantôt le GJR. EViews appelle « TARCH » ce que R appelle « GJR ». Toujours vérifier l’équation affichée, jamais se fier au nom.
Comparer les trois asymétries
Les courbes d’impact
| Modèle | Forme de la courbe |
|---|---|
| GARCH | parabole symétrique |
| GJR | deux demi-paraboles, rupture de pente en zéro |
| EGARCH | courbe lisse, asymétrique, en exponentielle |
Le GJR fait basculer le régime brutalement au passage de zéro : un choc de -0{,}01 est traité tout autrement qu’un choc de +0{,}01, ce qui est discutable.
L’EGARCH assure une transition continue, plus plausible économiquement, mais moins lisible.
Le tableau de choix
| Critère | GARCH | GJR | EGARCH |
|---|---|---|---|
| Paramètres | 3 | 4 | 4 |
| Contraintes de positivité | oui | oui | aucune |
| Effet de levier | non | oui | oui |
| Interprétation directe | ++ | ++ | + |
| Prévision à plusieurs pas | simple | simple | délicate |
| Robustesse aux extrêmes | + | + | − |
Commencer par un GJR-GARCH(1,1) à innovations de Student. C’est le meilleur compromis : une asymétrie testable en un coefficient, des prévisions simples, et une interprétation immédiate.
Passer à l’EGARCH si les contraintes de positivité posent problème à l’estimation, ou si la rupture de pente en zéro paraît difficile à défendre.
Le bilan face aux faits
Ce que chaque modèle sait faire
| Fait | ARCH | GARCH | GARCH-t | GJR-t |
|---|---|---|---|---|
| 1. Non-corrélation | oui | oui | oui | oui |
| 2. Queues épaisses | partiel | partiel | oui | oui |
| 3. Regroupement | oui | oui | oui | oui |
| 4. ACF lente des carrés | non | oui | oui | oui |
| 5. Effet de levier | non | non | non | oui |
| 6. Gaussianité par agrégation | oui | oui | oui | oui |
Chaque colonne corrige exactement une insuffisance de la précédente. C’est l’histoire de la discipline en quatre étapes — et l’ordre dans lequel il faut construire un modèle sur données réelles.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- GJR-GARCH : h_t = \omega + (\alpha_1+\gamma I_{t-1})\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}, avec I_{t-1}=\mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1}<0\}.
- \gamma>0 : effet de levier ; le test est un simple test de Student sur \gamma.
- Persistance : \pi = \alpha_1 + \gamma/2 + \beta_1 ; variance de long terme \omega/(1-\pi).
- Sur les données du cours : un choc négatif pèse quatre fois un choc positif.
- TGARCH : même idée sur l’écart-type et la valeur absolue, plus robuste aux extrêmes.
- Ordre de travail : d’abord la loi des innovations, ensuite l’asymétrie.
Reste une question que toutes les estimations posent sans la résoudre : que faire quand la persistance estimée est si proche de 1 qu’on ne peut plus la distinguer de 1 ?
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)