Modélisation GARCH de la volatilité
L’estimation par quasi-maximum de vraisemblance
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- Regroupement de la volatilité et effet de levier
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- Détecter et identifier un effet ARCH
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Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 13 : L’estimation par quasi-maximum de vraisemblance
Avant de commencer
Pourquoi les moindres carrés ne conviennent pas
Le GARCH est un ARMA sur les carrés — on pourrait donc l’estimer par MCO. Mais l’innovation v_t = \varepsilon_t^2 - h_t est fortement hétéroscédastique, très asymétrique, et rien ne garantirait la positivité des coefficients.
La méthode de référence est le maximum de vraisemblance.
La vraisemblance
Sa construction
L(\vartheta) = \prod_{t=1}^{T} f\big(r_t \mid \Omega_{t-1};\vartheta\big) .
Sous z_t \sim \mathcal{N}(0,1), la loi de r_t sachant le passé est \mathcal{N}(\mu, h_t), d’où :
\ln L(\vartheta) = -\frac{T}{2}\ln(2\pi) - \frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\left[\ln h_t + \frac{(r_t-\mu)^2}{h_t}\right] .
Deux termes qui s’opposent. \ln h_t pénalise les variances élevées : le modèle ne peut pas gonfler h_t partout pour se mettre à l’abri. Et \varepsilon_t^2/h_t pénalise les variances trop faibles là où le choc a été grand.
L’optimum réalise l’équilibre : h_t doit être grande exactement les jours où \varepsilon_t^2 l’est.
Le rôle de la récursion
h_t n’est pas un paramètre : c’est une fonction récursive des paramètres et des données passées. h_t(\vartheta) = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1 h_{t-1}(\vartheta) .
Chaque évaluation de la vraisemblance exige de parcourir toute la série, de t=1 à t=T. Il n’existe aucune formule fermée : l’optimisation est nécessairement numérique.
C’est pourquoi l’estimation d’un GARCH est instantanée sur 2 500 points, et sensiblement plus lente sur un million.
L’initialisation
Trois conventions courantes :
- h_1 = \hat\sigma^2, la variance empirique de l’échantillon — la plus employée ;
- h_1 = \omega/(1-\alpha_1-\beta_1), la variance de long terme du modèle ;
- h_1 traitée comme un paramètre supplémentaire à estimer.
L’influence de h_1 décroît en \beta_1^{\,t}. Avec \beta_1 = 0{,}89, elle est divisée par 100 au bout de 40 périodes.
Sur 2 500 observations, le choix est sans conséquence. Sur 200, il change la troisième décimale — et c’est pourquoi les logiciels ne donnent pas tous exactement les mêmes chiffres.
Le quasi-maximum
Le problème
Le chapitre 9 a établi que z_t n’est pas gaussienne. Or nous venons d’écrire la vraisemblance sous hypothèse gaussienne.
Est-ce que cela invalide l’estimation ?
Le théorème
Si l’équation de variance est correctement spécifiée, l’estimateur du maximum de vraisemblance gaussien est convergent et asymptotiquement normal, même si la vraie loi de z_t n’est pas normale.
On l’appelle estimateur du quasi-maximum de vraisemblance (QMV).
La vraisemblance gaussienne ne fait intervenir que les deux premiers moments conditionnels. Tant que \mathrm{E}(\varepsilon_t\mid\Omega_{t-1}) = 0 et \mathrm{V}(\varepsilon_t\mid\Omega_{t-1}) = h_t sont exacts, les équations de score sont satisfaites en moyenne — quelle que soit la forme de la loi.
Ce qu’il faut corriger
\widehat{\mathrm{V}}(\hat\vartheta) = \mathbf{A}^{-1}\,\mathbf{B}\,\mathbf{A}^{-1} , où \mathbf{A} est le hessien et \mathbf{B} la matrice des produits de scores. Sous normalité, \mathbf{A}=\mathbf{B} et l’expression se simplifie ; sinon, non.
Les écarts-types non robustes sont sous-estimés — souvent de 20 à 40 % sur données financières. On conclurait à tort à la significativité.
En R : ugarchfit(..., solver.control = list(...)) fournit les deux jeux, sous les intitulés « Std.Error » et « Robust Std.Error ». Toujours lire la seconde colonne.
Une loi non gaussienne
L’alternative
\ln L = \sum_{t=1}^{T}\left[\ln\Gamma\!\Big(\tfrac{\nu+1}{2}\Big) - \ln\Gamma\!\Big(\tfrac{\nu}{2}\Big) - \tfrac12\ln\big(\pi(\nu-2)\big) - \tfrac12\ln h_t - \tfrac{\nu+1}{2}\ln\Big(1+\tfrac{\varepsilon_t^2}{h_t(\nu-2)}\Big)\right] Le paramètre \nu est estimé conjointement avec les autres.
Si la loi est bien spécifiée, l’estimateur est efficace : il fait mieux que le QMV gaussien.
Si elle est mal spécifiée, la propriété de convergence est perdue — contrairement au QMV gaussien, qui reste robuste.
En pratique : la Student est presque toujours meilleure que la normale sur données financières, donc le risque de mauvaise spécification est faible, et on l’emploie.
Les difficultés numériques
Ce qui peut mal se passer
| Symptôme | Cause probable | Remède |
|---|---|---|
| non-convergence | mauvaises valeurs initiales | partir d’un GARCH(1,1) simple |
| \hat\alpha_1 ou \hat\beta_1 collé à zéro | modèle sur-paramétré | réduire p et q |
| \hat\pi estimé à 0{,}9999 | rupture de régime | découper l’échantillon |
| écarts-types absurdes | quasi-non-identification | simplifier le modèle |
Deux précautions de mise à l’échelle
Si les rentabilités sont exprimées en décimal — 0{,}012 pour 1,2 % — alors \omega est de l’ordre de 10^{-6}. L’optimiseur travaille alors sur des échelles très différentes selon les paramètres, et converge mal.
Multiplier les rentabilités par 100 avant estimation. Les logiciels le font parfois automatiquement, et affichent un avertissement quand ils ne le font pas — il faut le lire.
Un optimiseur non contraint peut renvoyer \hat\alpha_1+\hat\beta_1 > 1. Ce n’est pas nécessairement une erreur de calcul : c’est le signe que le modèle n’est pas adapté, ou que l’échantillon contient une rupture.
Les propriétés asymptotiques
Le résultat
Sous stationnarité stricte, identification et existence de moments suffisants : \sqrt{T}\big(\hat\vartheta - \vartheta_0\big) \ \xrightarrow{\ d\ }\ \mathcal{N}\big(0,\ \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}\big) .
Les conditions de régularité exigent l’existence de moments d’ordre élevé de \varepsilon_t — que le chapitre 7 a montrés souvent absents en finance.
La théorie asymptotique du GARCH repose donc sur des hypothèses plus fragiles qu’il n’y paraît. C’est une raison de plus d’employer les écarts-types robustes, et de se méfier de la troisième décimale.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- La vraisemblance équilibre deux pénalités : \ln h_t contre \varepsilon_t^2/h_t.
- h_t est une fonction récursive des paramètres : pas de formule fermée, optimisation numérique obligatoire.
- QMV : le maximum de vraisemblance gaussien reste convergent même si z_t n’est pas gaussienne.
- Il faut alors des écarts-types robustes (sandwich) : les autres sont sous-estimés de 20 à 40 %.
- La vraisemblance de Student est plus efficace, et presque toujours préférable en finance.
- Précautions : rentabilités en pourcentage, bonnes valeurs initiales, vérification de \hat\pi<1.
Un modèle estimé n’est pas un modèle valide. Il faut interroger ses résidus standardisés — et le critère sera exactement celui du cours ARMA, transposé aux carrés.
Ressources du chapitre
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