Modélisation GARCH de la volatilité
La loi des innovations
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 9 : La loi des innovations
Avant de commencer
La question laissée en suspens
Le modèle s’écrit \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t avec z_t i.i.d. centrée réduite. Nous avons entièrement spécifié h_t. Reste à choisir la loi de z_t.
h_t décide de l’échelle du risque. z_t décide de sa forme — donc de la probabilité des événements extrêmes, donc de la VaR.
Pour la prévision de volatilité, ce choix compte peu. Pour la gestion du risque, il est décisif.
La loi normale
Le point de départ
z_t \sim \mathcal{N}(0,1) .
Le chapitre 4 l’a montré : même avec des innovations gaussiennes, le processus \varepsilon_t a des queues épaisses. Le mélange de variances y suffit.
C’est ce qui a fait le succès du GARCH gaussien : il reproduit le fait 2 sans avoir à y toucher.
Ce qu’elle ne suffit pas à faire
Kurtosis des rentabilités brutes : 6{,}05.
Kurtosis des résidus standardisés z_t = \hat\varepsilon_t/\sqrt{\hat h_t} : 4{,}66.
Le GARCH a absorbé une partie de l’excès — mais il reste 4{,}66 là où la loi normale exige 3.
Le regroupement de la volatilité explique une partie des queues épaisses, pas la totalité. Il subsiste des chocs extrêmes qui ne s’expliquent pas par un niveau de volatilité élevé : ce sont de véritables surprises.
Il faut donc une loi à queues épaisses pour z_t elle-même.
La loi de Student
La spécification
z_t suit une loi de Student à \nu degrés de liberté, remise à l’échelle pour que \mathrm{V}(z_t)=1 : f(z) = \frac{\Gamma\!\big(\frac{\nu+1}{2}\big)}{\Gamma\!\big(\frac{\nu}{2}\big)\sqrt{\pi(\nu-2)}}\left(1+\frac{z^2}{\nu-2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}, \qquad \nu > 2 .
\kappa_z = 3\,\frac{\nu-2}{\nu-4} \quad (\nu > 4), \qquad \kappa_z \to 3 \ \text{ quand } \nu\to\infty .
Lire le paramètre
| \nu | \kappa_z |
|---|---|
| 5 | 9{,}0 |
| 6 | 6{,}0 |
| 8 | 4{,}5 |
| 15 | 3{,}5 |
| \to\infty | 3{,}0 |
\nu est une mesure de l’épaisseur des queues résiduelles : plus il est petit, plus les surprises extrêmes sont fréquentes. Sur données financières quotidiennes, on estime typiquement \nu entre 5 et 10.
Une valeur estimée supérieure à 20 signifie que la normale suffisait.
Sur les données du cours
À gauche, contre la loi normale : les points s’écartent nettement de la droite aux deux extrémités — les queues observées sont plus épaisses.
À droite, contre la loi de Student à \hat\nu = 6{,}46 : les points suivent la droite jusque dans les queues.
\text{BIC (normale)} = 7\,117{,}8 \qquad \text{BIC (Student)} = 7\,021{,}1 Un écart de 97 points pour un paramètre de plus. C’est considérable : le seuil usuel de significativité d’un écart de BIC est de 10.
L’asymétrie
Un troisième fait sur la loi
Les rentabilités présentent en général une asymétrie négative : les grandes baisses sont plus fréquentes et plus fortes que les grandes hausses.
L’effet de levier est une propriété de la dynamique : le signe du choc d’hier influe sur la variance d’aujourd’hui. C’est l’affaire de h_t, traitée aux chapitres 10 et 11.
L’asymétrie de la loi est une propriété statique de z_t : à volatilité donnée, la queue gauche est plus lourde que la droite. Ce sont deux mécanismes distincts, et un bon modèle a souvent besoin des deux.
La Student asymétrique
On introduit un paramètre \xi > 0 qui comprime un côté et dilate l’autre : f(z\mid\xi) = \frac{2}{\xi+\xi^{-1}}\Big[ f(\xi z)\,\mathbf{1}_{\{z<0\}} + f(z/\xi)\,\mathbf{1}_{\{z\ge0\}}\Big] . \xi = 1 : symétrie. \xi < 1 : queue gauche plus lourde.
À gauche les trois densités ; à droite la queue gauche agrandie, où tout se joue. C’est dans cette zone que se calcule une VaR à 1 %, et l’écart entre les trois courbes y est considérable.
Les autres lois usuelles
Le tableau
| Loi | Paramètres | Queues | Asymétrie |
|---|---|---|---|
| Normale | 0 | fines | non |
| Student | 1 (\nu) | épaisses | non |
| GED | 1 (\kappa) | réglables | non |
| Student asymétrique | 2 (\nu, \xi) | épaisses | oui |
Generalized Error Distribution : f(z) \propto \exp(-|z/\lambda|^{\kappa}). Pour \kappa=2 c’est la normale, pour \kappa=1 la Laplace, et pour \kappa<1 des queues très épaisses.
Elle est plus souple que la Student près du centre, mais son paramètre est moins directement interprétable.
Comment choisir
- Estimer avec la loi normale, et examiner le kurtosis des résidus standardisés.
- S’il dépasse nettement 3, passer à la Student, et lire \hat\nu.
- Si l’asymétrie des résidus standardisés est nettement négative, passer à la Student asymétrique et tester \xi = 1.
Le BIC, comme au chapitre 12 du cours ARMA. Chaque paramètre de loi supplémentaire doit gagner plus qu’il ne coûte — soit environ \ln T \approx 8 points de log-vraisemblance sur un échantillon de 2 500 observations.
Ce que le choix change vraiment
| Loi | z_{0{,}01} |
|---|---|
| Normale | -2{,}33 |
| Student, \nu=6 | -2{,}75 |
| Student asym., \nu=6, \xi=0{,}85 | -3{,}09 |
Passer de la normale à la Student asymétrique élargit la VaR de plus de 30 %. Pour une banque, c’est un tiers de fonds propres en plus — ou en moins.
h_t dit quand le risque monte ; z_t dit de combien il faut se couvrir. Les deux sont indispensables, et c’est le second qui décide du chiffre final.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Le GARCH gaussien produit déjà des queues épaisses inconditionnelles : c’est le mélange de variances.
- Mais il n’en produit pas assez : les résidus standardisés conservent un kurtosis de 4{,}66.
- La Student ajoute un paramètre \nu, directement lisible : \kappa_z = 3(\nu-2)/(\nu-4).
- Sur les données du cours, \hat\nu = 6{,}46 et le BIC gagne 97 points.
- L’asymétrie de la loi (\xi) est distincte de l’effet de levier (dynamique de h_t).
- Le choix de la loi modifie la VaR de plus de 30 % : c’est là que se décide le chiffre.
Il reste le fait stylisé que ni l’ARCH ni le GARCH ne savent reproduire : l’effet de levier. Il faudra rompre la symétrie de l’équation de variance.
Ressources du chapitre
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- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
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