Modélisation GARCH de la volatilité
La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 8 : La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
Avant de commencer
Un résultat qui réutilise tout le cours précédent
Un GARCH(p,q) sur \varepsilon_t est un ARMA(\max(p,q), p) sur \varepsilon_t^2.
Ce n’est pas une ressemblance : c’est la même équation, réécrite. Toute la théorie du cours ARMA s’applique donc directement, sans rien redémontrer.
La transformation
L’innovation de la variance
v_t = \varepsilon_t^2 - h_t .
Trois propriétés, toutes immédiates :
\mathrm{E}\big(v_t \mid \Omega_{t-1}\big) = \mathrm{E}\big(\varepsilon_t^2\mid\Omega_{t-1}\big) - h_t = h_t - h_t = 0
\mathrm{Cov}(v_t, v_{t-k}) = 0 \quad (k \ge 1)
Centré, non corrélé. C’est la surprise de la variance : l’écart entre le carré réalisé et ce qu’on en attendait la veille.
L’innovation de la variance (suite)
v_t est un bruit blanc faible, et sa variance n’est pas constante : elle dépend de h_t^2. C’est un bruit blanc hétéroscédastique.
Cela ne gêne pas l’algèbre qui suit, mais explique pourquoi on n’estimera pas le GARCH par les moindres carrés sur les carrés — chapitre 13.
La réécriture
Partons du GARCH(1,1) et remplaçons h_t par \varepsilon_t^2 - v_t et h_{t-1} par \varepsilon_{t-1}^2 - v_{t-1} :
\varepsilon_t^2 - v_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1\big(\varepsilon_{t-1}^2 - v_{t-1}\big)
En regroupant :
\boxed{\ \varepsilon_t^2 = \omega + (\alpha_1+\beta_1)\,\varepsilon_{t-1}^2 + v_t - \beta_1\,v_{t-1}\ }
Reconnaître la forme
Avec les notations du cours précédent, en posant y_t = \varepsilon_t^2 : y_t = \theta + \underbrace{(\alpha_1+\beta_1)}_{\text{coefficient AR}}\,y_{t-1} + v_t \underbrace{-\ \beta_1}_{\text{coefficient MA}}\,v_{t-1} .
| GARCH(1,1) | ARMA(1,1) sur \varepsilon_t^2 |
|---|---|
| \alpha_1 + \beta_1 | coefficient autorégressif |
| -\beta_1 | coefficient de moyenne mobile |
| \omega | constante |
Le cas général
\varepsilon_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{\max(p,q)}(\alpha_i+\beta_i)\,\varepsilon_{t-i}^2 + v_t - \sum_{j=1}^{p}\beta_j\,v_{t-j} , soit un ARMA(\max(p,q), p) sur les carrés, avec la convention \alpha_i = 0 pour i>q et \beta_j=0 pour j>p.
Ce que montre la dualité
La condition de stationnarité, retrouvée
Un ARMA(1,1) est stationnaire si son coefficient autorégressif est de module inférieur à 1. Ici ce coefficient vaut \alpha_1+\beta_1.
D’où \alpha_1+\beta_1<1 — la condition du chapitre 7, obtenue comme corollaire du cours précédent.
L’ACF des carrés, retrouvée
Un ARMA(1,1) a une ACF qui décroît géométriquement au taux du coefficient AR dès le retard 2. Donc \mathrm{Corr}\big(\varepsilon_t^2,\varepsilon_{t-k}^2\big) \ \propto\ (\alpha_1+\beta_1)^{\,k} .
Avec \pi = 0{,}99, l’ACF des carrés vaut encore 0{,}82 au retard 20. C’est précisément la décroissance lente observée sur toutes les séries financières.
Le fait stylisé 4 n’est donc pas un fait supplémentaire : c’est la conséquence directe d’une persistance élevée.
Pourquoi l’ARCH ne suffisait pas
| Sur les carrés | Modèle sur \varepsilon_t |
|---|---|
| MA(q) | ARCH(q) |
| ARMA(1,1) | GARCH(1,1) |
Un MA(q) a une mémoire strictement finie ; un ARMA(1,1) a une mémoire infinie avec deux paramètres. Le passage de l’ARCH au GARCH est le passage du MA à l’ARMA.
Ce que permet la dualité
Identifier les ordres
Appliquer aux carrés des résidus la table d’identification du cours ARMA :
| ACF de \hat\varepsilon_t^2 | PACF de \hat\varepsilon_t^2 | Modèle |
|---|---|---|
| coupe après q | décroît | ARCH(q) |
| décroît | décroît | GARCH(p,q) |
Les deux décroissent. C’est la signature du cas mixte — donc d’un GARCH, non d’un ARCH. Et comme dans le cours ARMA, l’ambiguïté sur p et q se tranche par les critères d’information.
Une estimation rapide, mais à éviter
Puisque c’est un ARMA, pourquoi ne pas l’estimer comme tel — par moindres carrés sur \hat\varepsilon_t^2 ?
- v_t est fortement hétéroscédastique : sa variance dépend de h_t^2. Les MCO sont alors très inefficaces.
- Rien ne garantit que les estimations respectent \omega>0, \alpha_1 \ge 0, \beta_1 \ge 0.
- La loi de v_t est très asymétrique, ce qui dégrade encore l’inférence.
À obtenir des valeurs initiales pour l’optimiseur du maximum de vraisemblance, et à comprendre pourquoi les logiciels convergent vite : ils partent d’un point déjà raisonnable.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- v_t = \varepsilon_t^2 - h_t est un bruit blanc hétéroscédastique : la surprise de la variance.
- Un GARCH(1,1) sur \varepsilon_t est un ARMA(1,1) sur \varepsilon_t^2, de coefficient AR \alpha_1+\beta_1 et de coefficient MA -\beta_1.
- En général : GARCH(p,q) \iff ARMA(\max(p,q), p) sur les carrés.
- La condition \alpha_1+\beta_1<1 et la décroissance en \pi^k de l’ACF s’en déduisent sans calcul nouveau.
- ARCH est à GARCH ce que MA est à ARMA.
- On n’estime pas par MCO sur les carrés : v_t est trop hétéroscédastique, et les contraintes ne seraient pas respectées.
La dynamique de h_t est réglée. Il reste la seconde moitié du modèle, laissée de côté depuis le chapitre 2 : la loi de z_t.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
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- QCM (bientôt)