Modélisation GARCH de la volatilité
Propriétés statistiques de l’ARCH
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 4 : Propriétés statistiques de l’ARCH
Avant de commencer
Ce que ce chapitre établit
Quatre résultats, tous démontrés sur l’ARCH(1), tous valables plus généralement : l’absence d’autocorrélation, la stationnarité, le kurtosis, et la nature de la mémoire.
Les moments d’ordre un et deux
Espérance
\mathrm{E}(\varepsilon_t) = \mathrm{E}\big[\mathrm{E}(\varepsilon_t \mid \Omega_{t-1})\big] = \mathrm{E}\big[\sqrt{h_t}\,\mathrm{E}(z_t)\big] = 0 .
On conditionne d’abord — h_t devient alors une constante qu’on peut sortir — puis on prend l’espérance du résultat. C’est la loi des espérances itérées, et c’est le seul outil dont nous aurons besoin.
Absence d’autocorrélation
Pour k \ge 1 :
\mathrm{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-k}) = \mathrm{E}\big[\varepsilon_t\,\varepsilon_{t-k}\big] = \mathrm{E}\big[\varepsilon_{t-k}\,\mathrm{E}(\varepsilon_t\mid\Omega_{t-1})\big] = 0 .
Le processus (\varepsilon_t) est un bruit blanc faible : non corrélé à tout retard.
Il n’est pas un bruit blanc fort : \varepsilon_t et \varepsilon_{t-1} sont manifestement dépendants, puisque le second détermine la variance du premier.
Le modèle satisfait automatiquement l’absence d’autocorrélation des rentabilités — le premier fait stylisé. On n’a rien eu à imposer : c’est une conséquence de la structure.
Variance et stationnarité
En itérant l’équation h_t = \omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 vers le passé :
h_t = \omega\big(1 + \alpha_1 z_{t-1}^2 + \alpha_1^2 z_{t-1}^2z_{t-2}^2 + \cdots\big)
En espérance, avec \mathrm{E}(z^2) = 1 :
\mathrm{E}(h_t) = \omega\sum_{j\ge0}\alpha_1^{\,j} = \frac{\omega}{1-\alpha_1} \qquad \text{si } \alpha_1 < 1 .
\boxed{\ 0 \le \alpha_1 < 1\ } \qquad \Longrightarrow \qquad \sigma^2 = \frac{\omega}{1-\alpha_1} .
Le kurtosis
Le résultat central
Sous z_t \sim \mathcal{N}(0,1), donc \mathrm{E}(z^4) = 3 :
\mathrm{E}(\varepsilon_t^4) = \mathrm{E}\big[h_t^2\,z_t^4\big] = 3\,\mathrm{E}(h_t^2) .
Un calcul de même nature sur h_t^2 donne, si 3\alpha_1^2 < 1 :
\kappa = \frac{\mathrm{E}(\varepsilon_t^4)}{\big[\mathrm{E}(\varepsilon_t^2)\big]^2} = 3\,\frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2} \ \ > \ 3 \quad \text{dès que } \alpha_1 > 0 .
Le résultat le plus important du chapitre
L’innovation z_t est gaussienne. Et pourtant le processus \varepsilon_t ne l’est pas : son kurtosis dépasse 3.
Le mélange de variances suffit à produire les queues épaisses. Le fait 2 découle du fait 3 — ce que le chapitre 1 annonçait, et qui se démontre ici en trois lignes.
| \alpha_1 | \kappa |
|---|---|
| 0{,}1 | 3{,}09 |
| 0{,}3 | 4{,}52 |
| 0{,}5 | 18{,}0 |
| \ge 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577 | infini |
Deux conditions, deux niveaux d’exigence
\alpha_1 < 1 \quad \text{: variance finie (stationnarité au second ordre)} 3\alpha_1^2 < 1 \iff \alpha_1 < 0{,}577 \quad \text{: kurtosis fini (moment d'ordre 4)}
Pour 0{,}577 < \alpha_1 < 1, le processus est stationnaire mais son kurtosis est infini. La variance existe, la variance de la variance non.
Ce n’est pas une curiosité : sur données financières réelles, l’existence du moment d’ordre quatre est douteuse, et c’est l’une des raisons pour lesquelles les écarts-types d’estimation doivent être calculés de façon robuste — chapitre 13.
La nature de la mémoire
L’ACF des carrés
Pour un ARCH(1), \mathrm{Corr}\big(\varepsilon_t^2,\ \varepsilon_{t-k}^2\big) = \alpha_1^{\,k} .
C’est exactement le résultat du cours ARMA pour un AR(1) : \rho_k = \alpha^k.
Le carré du choc se comporte comme un processus autorégressif d’ordre 1. Le chapitre 8 montrera que ce n’est pas une analogie, mais une identité.
Le problème pratique
Pour reproduire une ACF encore significative au retard 20, il faut \alpha_1^{20} non négligeable, donc \alpha_1 proche de 0{,}9.
Mais \alpha_1 = 0{,}9 > 0{,}577 : le kurtosis devient infini, et le modèle produit des trajectoires bien plus extrêmes que les données.
L’ARCH(1) ne peut pas être à la fois assez persistant et assez sage. Augmenter q répartit la charge, mais impose d’estimer beaucoup de paramètres, tous contraints positifs.
Le GARCH résoudra ce dilemme en séparant deux choses que l’ARCH confond : la réaction au choc et la persistance de la variance.
Simuler un ARCH
L’algorithme
- Initialiser h_1 = \omega/(1-\alpha_1), la variance de long terme.
- Tirer z_t dans la loi choisie.
- Poser \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\,z_t.
- Calculer h_{t+1} = \omega + \alpha_1\varepsilon_t^2, puis revenir en 2.
Jeter les premières centaines d’observations — le burn-in — pour effacer l’effet de l’initialisation.
Et vérifier que la variance empirique de la série simulée est proche de \omega/(1-\alpha_1) : c’est le contrôle qui détecte le plus vite une erreur de programmation.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Un ARCH est un bruit blanc faible : \mathrm{E}(\varepsilon_t)=0 et \mathrm{Cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-k})=0.
- Stationnarité au second ordre si \alpha_1 < 1 ; alors \sigma^2 = \omega/(1-\alpha_1).
- Kurtosis = 3(1-\alpha_1^2)/(1-3\alpha_1^2) > 3 même avec des innovations gaussiennes.
- Deux conditions distinctes : \alpha_1<1 pour la variance, \alpha_1<0{,}577 pour le kurtosis.
- \mathrm{Corr}(\varepsilon_t^2,\varepsilon_{t-k}^2) = \alpha_1^k : décroissance géométrique, comme un AR(1).
- Dilemme de l’ARCH : la persistance nécessaire rend le kurtosis infini.
Avant de perfectionner le modèle, il faut savoir détecter un effet ARCH sur données réelles, et choisir son ordre. C’est l’étape d’identification, transposée à la variance.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)