Modélisation GARCH de la volatilité
La validation d’un modèle de volatilité
- Présentation du cours
- Mandelbrot et les faits stylisés des rentabilités
- Regroupement de la volatilité et effet de levier
- Le cadre de la variance conditionnelle
- Le modèle ARCH(q) d'Engle
- Propriétés statistiques de l'ARCH
- Détecter et identifier un effet ARCH
- Le modèle GARCH(p,q) de Bollerslev
- Stationnarité, persistance et variance de long terme
- La dualité GARCH et ARMA sur les carrés
- La loi des innovations
- L'effet de levier et l'EGARCH de Nelson
- GJR-GARCH, TGARCH et la courbe d'impact
- IGARCH, GARCH-M et la mémoire longue
- L'estimation par quasi-maximum de vraisemblance
- La validation d'un modèle de volatilité
- La prévision de volatilité
- De la volatilité à la Value at Risk
- Mise en œuvre sur R
- Mise en œuvre sur Python
- Étude de cas sur données réelles — R
- Étude de cas sur données réelles — Python
Modélisation GARCH de la volatilité
Chapitre 14 : La validation d’un modèle de volatilité
Avant de commencer
Le critère
Un modèle GARCH est validé si les résidus standardisés \hat z_t = \frac{\hat\varepsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}} se comportent comme une suite i.i.d. de loi conforme à celle qu’on a supposée.
Là, on vérifiait que les résidus étaient un bruit blanc. Ici, on vérifie deux choses : que \hat z_t est non corrélé — l’équation de moyenne tient — et que \hat z_t^2 l’est aussi — l’équation de variance tient.
C’est le second test qui est nouveau, et c’est le plus important.
Tester les résidus
Sur les niveaux
H_0 : les résidus standardisés ne sont pas autocorrélés. On souhaite ne pas rejeter.
Q_{\mathrm{LB}}(20) = 9{,}7 \qquad \text{contre une valeur critique de } 31{,}4 . Non rejeté : l’équation de moyenne — ici une simple constante — suffit.
Sur les carrés : le test décisif
H_0 : les carrés des résidus standardisés ne sont pas autocorrélés. C’est le test de la spécification de h_t.
Sur les carrés : le test décisif (suite)
Sur les carrés : le test décisif (suite 2)
| Série | Q_{\mathrm{LB}}(20) | Conclusion |
|---|---|---|
| r_t^2 (avant modélisation) | 968{,}1 | structure massive |
| \hat z_t^2 (après GARCH) | 27{,}1 | non rejeté |
Le GARCH a absorbé la totalité de la dépendance des carrés. Ce qui reste est du bruit.
Le fait stylisé 4, qui résistait à l’ARMA, est entièrement expliqué par une équation à trois paramètres.
Le test ARCH sur les résidus standardisés
Réappliquer le test LM du chapitre 5 aux \hat z_t. S’il rejette encore, il reste de l’hétéroscédasticité conditionnelle : le modèle est sous-spécifié, il faut augmenter q ou passer à une forme asymétrique.
Les tests sur la loi
La normalité, ou son absence
Rejeté presque systématiquement, même après un bon GARCH.
Kurtosis de \hat z_t : 4{,}66. Jarque-Bera : rejeté.
Ce n’est pas un échec du modèle de variance. C’est le signe qu’il faut une loi à queues épaisses pour z_t — ce que le chapitre 9 a prescrit.
Après passage à la loi de Student, ce n’est plus la normalité qu’il faut tester, mais l’adéquation à la Student choisie.
Le diagramme quantile-quantile
Le diagramme quantile-quantile (suite)
On porte les quantiles empiriques de \hat z_t contre les quantiles théoriques de la loi supposée. Si le modèle est correct, les points s’alignent sur la première bissectrice.
Un test rend un verdict binaire ; le diagramme montre où ça cloche. Un décrochage dans la queue gauche seulement signale une asymétrie de la loi — et appelle une Student asymétrique, non un changement de l’équation de variance.
Le test d’Engle et Ng
Le principe
Régresser \hat z_t^2 sur des indicatrices du signe et de l’ampleur du choc précédent : \hat z_t^2 = a_0 + a_1 S^{-}_{t-1} + a_2 S^{-}_{t-1}\hat\varepsilon_{t-1} + a_3 S^{+}_{t-1}\hat\varepsilon_{t-1} + u_t , avec S^{-}_{t-1} = \mathbf{1}\{\hat\varepsilon_{t-1}<0\} et S^{+} = 1-S^{-}.
| Coefficient | Ce qu’il teste |
|---|---|
| a_1 | sign bias : le signe du choc compte-t-il ? |
| a_2 | negative size bias : l’ampleur des baisses est-elle mal traitée ? |
| a_3 | positive size bias : celle des hausses ? |
Le principe (suite)
Après un GARCH symétrique, ce test détecte l’effet de levier résiduel. S’il rejette, il faut passer au GJR ou à l’EGARCH — et le test dit lequel des trois aspects pose problème.
Comparer des modèles
Les critères d’information
\mathrm{AIC} = -2\ln\hat L + 2k, \qquad \mathrm{BIC} = -2\ln\hat L + k\ln T .
| Modèle | k | \ln\hat L | BIC |
|---|---|---|---|
| GARCH normal | 4 | -3\,543{,}2 | 7\,117{,}8 |
| GARCH Student | 5 | -3\,491{,}0 | 7\,021{,}1 |
| GJR Student | 6 | -3\,476{,}8 | \mathbf{7\,000{,}5} |
Les modèles doivent être estimés sur exactement le même échantillon et avec la même initialisation. Un GARCH(1,1) et un GARCH(2,2) qui ne démarrent pas à la même date ne sont pas comparables.
Ce que les critères ne disent pas
Un modèle peut gagner sur le BIC et prévoir moins bien hors échantillon. La comparaison définitive se fait sur une période réservée, et c’est l’objet du chapitre suivant.
Sur des données réelles, on garde en général les 20 % de fin d’échantillon pour cette évaluation, sans jamais les utiliser à l’estimation.
La procédure complète
En sept étapes
- Estimer et valider l’équation de moyenne.
- Tester l’effet ARCH sur ses résidus.
- Estimer un GARCH(1,1) gaussien, examiner le kurtosis de \hat z_t.
- Passer à la loi de Student, lire \hat\nu.
- Tester l’asymétrie (Engle-Ng) ; si rejet, passer au GJR.
- Vérifier Ljung-Box sur \hat z_t et sur \hat z_t^2.
- Comparer les candidats par le BIC, puis hors échantillon.
Des résidus standardisés dont ni les niveaux ni les carrés ne présentent de structure, et dont la loi est conforme au diagramme quantile-quantile. Rien de plus n’est exigible.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Le critère est double : \hat z_t et \hat z_t^2 doivent être sans structure.
- Sur les données du cours : Q_{\mathrm{LB}}(20) passe de 968 sur r_t^2 à 27 sur \hat z_t^2.
- Jarque-Bera reste rejeté : c’est normal, et cela appelle une loi de Student, non un autre h_t.
- Le diagramme quantile-quantile montre où la loi est mal choisie, là où un test se contente de rejeter.
- Le test d’Engle et Ng détecte l’asymétrie résiduelle et oriente vers le GJR ou l’EGARCH.
- Le BIC classe dans l’échantillon ; seule une période réservée classe en prévision.
Le modèle est validé. Il peut enfin servir à ce pour quoi il a été construit : prévoir la volatilité de demain, et de la semaine prochaine.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)