Introduction à l’économétrie

Normalité et points influents

Introduction à l'économétrie

Introduction à l’économétrie

Chapitre 17 : Normalité et points influents

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

La normalité des résidus

Ce qu’on regarde

Le test de Jarque-Bera

Il combine asymétrie et aplatissement

JB = n\left(\frac{S^2}{6}+\frac{(K-3)^2}{24}\right) \;\sim\; \chi^2_2

où S est le coefficient d’asymétrie et K l’aplatissement — les indicateurs de forme du chapitre 8 de la statistique descriptive.

Sur le modèle M2

S = 0{,}563 \qquad K = 3{,}607 \qquad JB = 34{,}1 \quad \text{contre un seuil de } 5{,}99

La normalité est rejetée. Les résidus sont étirés vers la droite.

Et cela n’a aucune conséquence

Pourquoi on peut passer outre

Avec cinq cents observations, le théorème central limite rend \widehat{\beta}_j approximativement normal quelle que soit la loi des erreurs.

Tests, p-values et intervalles restent valides. H6 ne servait qu’aux petits échantillons.

Quand elle importe vraiment

En dessous de trente observations — bilans d’un petit échantillon d’entreprises, séries macro courtes, expériences de laboratoire — la non-normalité invalide les tests.

Il faut alors soit transformer la variable expliquée, soit recourir à des méthodes de rééchantillonnage. Regardez toujours n avant de décider si le rejet vous concerne.

Ce que le rejet révèle quand même

Un diagnostic utile, pour une autre raison

Le décrochage en haut à droite du diagramme quantile-quantile signale quelques salaires très supérieurs à ce que le modèle prédit.

Ce n’est pas un problème de normalité : c’est une poignée d’observations particulières. Et celles-là méritent qu’on les regarde.

L’asymétrie appelle souvent le logarithme

Une distribution de résidus étirée à droite accompagne presque toujours une variable expliquée elle-même étirée — salaires, revenus, patrimoines, chiffres d’affaires.

Passer au logarithme corrige simultanément l’asymétrie et l’hétéroscédasticité du chapitre 14. C’est l’objet du chapitre 18.

Des points qui pèsent trop

Levier et résidu

Les trois notions

À ne pas confondre
Notion Question
Résidu le point est-il loin de la droite, en y ?
Levier est-il loin des autres, en x ?
Influence son retrait changerait-il la droite ?
Seule la troisième compte

Un levier fort sans résidu confirme la droite. Un gros résidu au centre du nuage la déplace à peine.

C’est leur combinaison qui bascule tout — et c’est le seul cas qu’un simple examen des résidus ne signale pas comme extraordinaire.

La distance de Cook

Elle combine les deux

D_i = \frac{e_i^2}{(k+1)\,\widehat{\sigma}_\varepsilon^2}\cdot\frac{h_i}{(1-h_i)^2}

où h_i est le levier de l’observation i. Elle mesure de combien l’ensemble des prévisions changerait si l’on retirait ce point.

Le seuil usuel

D_i > \frac{4}{n}

Sur nos cinq cents salariés : D_i > 0{,}008. C’est un seuil d’alerte, non de suppression.

Que faire d’un point influent

Quatre questions, dans cet ordre
  1. Est-ce une erreur de saisie ? On la corrige.
  2. Appartient-il à la population étudiée ? Un dirigeant dans un fichier d’employés n’y a pas sa place.
  3. Le modèle est-il mal spécifié ? Une non-linéarité produit des points apparemment aberrants.
  4. Si rien de tout cela : c’est une observation, et on la garde.
La règle déontologique

On ne supprime pas une observation parce qu’elle dérange.

La bonne pratique consiste à estimer le modèle avec et sans, et à publier les deux si les conclusions diffèrent. C’est ce qu’on appelle un test de robustesse — et une conclusion qui n’y survit pas n’était pas une conclusion.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. Jarque-Bera combine asymétrie et aplatissement : 34{,}1 ici, la normalité est rejetée.
  2. Sans conséquence sur cinq cents observations : le théorème central limite suffit.
  3. En dessous de trente, elle est décisive — regardez toujours n.
  4. Une asymétrie des résidus appelle souvent le logarithme, qui corrige aussi l’hétéroscédasticité.
  5. Résidu, levier, influence : seule la troisième compte, et c’est la distance de Cook.
  6. On ne supprime pas une observation gênante : on estime avec et sans, et l’on publie les deux.
La suite

Trois chapitres ont conclu de la même manière : le logarithme réglerait le problème.

Il est temps de le prendre au sérieux. La sixième partie traite le choix de la forme — et l’on y retrouvera l’équation la plus estimée de toute l’économie appliquée.

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