Introduction à l’économétrie
Les hypothèses de Gauss-Markov
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 11 : Les hypothèses de Gauss-Markov
À quelles conditions
Ce que les chapitres précédents ont supposé sans le dire
Huit chapitres de résultats, et une dette
Nous avons estimé, testé, encadré, prévu — en admettant chaque fois que les formules étaient valides.
Elles ne le sont que sous conditions. Ce chapitre les énonce, le suivant montre ce qui tombe quand elles ne tiennent pas.
Le théorème de Gauss-Markov
Sous cinq hypothèses, les estimateurs des moindres carrés sont BLUE : Best Linear Unbiased Estimator.
Le meilleur — au sens de la variance minimale — parmi les estimateurs linéaires et sans biais.
Les six hypothèses
Les cinq de Gauss-Markov
H1 — La linéarité
Linéaire en les paramètres
y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k + \varepsilon
Les \beta apparaissent au premier degré, sans produit ni fonction entre eux.
Beaucoup moins restrictif qu’il n’y paraît
\ln y = \beta_0 + \beta_1 \ln x + \varepsilon est linéaire en les paramètres, bien que la relation entre y et x soit une puissance.
La courbure passe par la transformation des variables, non par l’abandon des moindres carrés. Le chapitre 18 en fait un usage systématique.
H2 — L’exogénéité
La plus importante de toutes
E(\varepsilon_i \mid X) = 0
L’erreur ne contient rien de systématiquement lié aux variables explicatives.
Elle seule concerne le biais
Sous H2, E(\widehat{\beta}_j) = \beta_j : l’estimation vise juste.
Sans elle, tout le reste devient sans objet. Un estimateur biaisé peut être très précis autour de la mauvaise valeur — c’est la deuxième cible du chapitre 5 de l’inférence, la plus traître des quatre.
H3 et H4 — Sur la structure des erreurs
Homoscédasticité et indépendance
V(\varepsilon_i) = \sigma_\varepsilon^2 \quad \text{pour tout } i \qquad\qquad \mathrm{cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0 \quad \text{pour } i \neq j
La même dispersion partout ; aucune liaison entre les erreurs.
Les deux sont violées, et sur les mêmes données
H3 tombe dès que la dispersion dépend du niveau : les salaires élevés sont plus dispersés que les bas.
H4 tombe dès que les observations sont groupées : deux ménages du même quartier partagent ce que le modèle ignore.
Aucune des deux ne biaise les coefficients. Toutes deux faussent les écarts-types.
H5 — Pas de colinéarité parfaite
La condition d’existence
Aucune variable explicative ne doit être une combinaison linéaire exacte des autres.
Ce n’est pas une hypothèse statistique
C’est une condition algébrique : sans elle, X'X n’est pas inversible et le calcul est impossible.
Le logiciel refuse alors d’estimer, ou supprime une variable de lui-même. Le cas dangereux n’est pas la colinéarité parfaite — visible immédiatement — mais la colinéarité presque parfaite, qui laisse le calcul aboutir. C’est le chapitre 13.
La sixième
La normalité des erreurs
Elle ne fait pas partie de Gauss-Markov
\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0\,;\sigma_\varepsilon^2)
Elle n’est pas nécessaire pour que les MCO soient BLUE. Elle sert uniquement à rendre les tests exacts à petit échantillon.
Quand elle importe, et quand elle n’importe pas
Sur cinq cents observations, elle est inutile : le théorème central limite rend \widehat{\beta}_j approximativement normal quelle que soit la loi des erreurs.
Sur quinze observations, elle est décisive — et il faut alors regarder l’histogramme des résidus avant de publier le moindre t.
Ce que le théorème garantit exactement
Trois mots, trois portées
| Mot | Ce qu’il signifie |
|---|---|
| Unbiased | E(\widehat{\beta}_j) = \beta_j — exige H2 |
| Linear | on se restreint aux estimateurs combinaisons linéaires des y_i |
| Best | variance minimale dans cette classe — exige H3 et H4 |
La restriction cachée est dans « Linear »
Gauss-Markov ne dit pas que les MCO sont le meilleur estimateur possible. Il dit qu’ils sont le meilleur parmi les estimateurs linéaires sans biais.
Un estimateur non linéaire peut faire mieux — le maximum de vraisemblance, en particulier, dès qu’on connaît la loi des erreurs. C’est le chapitre 7 de l’inférence, et c’est ce que fait toute l’économétrie moderne.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Gauss-Markov : sous H1 à H5, les MCO sont BLUE.
- H1 linéarité — en les paramètres : les transformations de variables restent permises.
- H2 exogénéité — E(\varepsilon \mid X) = 0 : la seule qui concerne le biais.
- H3 homoscédasticité et H4 indépendance : elles ne touchent que les écarts-types.
- H5 pas de colinéarité parfaite : condition algébrique d’existence.
- H6 normalité hors du théorème : utile aux petits échantillons seulement.
La suite
Six hypothèses, et aucune n’est vérifiée exactement sur des données réelles.
La question n’est donc pas si elles tombent, mais laquelle, et avec quelles conséquences. Le chapitre 12 en dresse la carte.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)