Introduction à l’économétrie
La qualité de l’ajustement
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 4 : La qualité de l’ajustement
La décomposition
Couper l’écart en deux
Les trois sommes de carrés
L’identité fondamentale
\underbrace{\sum_i (y_i-\overline{y})^2}_{\text{SCT}} = \underbrace{\sum_i (\widehat{y}_i-\overline{y})^2}_{\text{SCE}} + \underbrace{\sum_i (y_i-\widehat{y}_i)^2}_{\text{SCR}}
Totale, expliquée, résiduelle.
Le double produit s’annule exactement
En développant le carré, il apparaît un terme croisé 2\sum_i(\widehat{y}_i-\overline{y})e_i.
Il est nul — conséquence directe des deux propriétés algébriques du chapitre 3. Ce n’est pas une approximation : c’est une identité, et elle ne vaut que pour les moindres carrés.
Coefficient de détermination
Sa définition
Le R^2
R^2 = \frac{\text{SCE}}{\text{SCT}} = 1 - \frac{\text{SCR}}{\text{SCT}} \qquad\qquad 0 \leq R^2 \leq 1
C’est la part de la variance de y dont le modèle rend compte.
Trois identités à connaître
En régression simple, R^2 = r^2 : le carré du coefficient de corrélation linéaire.
C’est aussi le \eta^2 de l’analyse de la variance, chapitre 17 de l’inférence — même quantité, autre découpage.
Et R^2 = 0 signifie que la droite est horizontale : la meilleure prévision est alors la moyenne.
Ce qu’il ne dit pas
Les deux erreurs de lecture
Un R^2 faible n’est pas un mauvais résultat
Sur des données individuelles, on explique rarement plus de la moitié de la variance : les comportements humains sont irréductiblement dispersés.
Nos salaires donnent R^2 = 0{,}40 avec la seule ancienneté. C’est un bon résultat, et la pente est significative à t = 18{,}4.
Un R^2 élevé n’est pas non plus un bon résultat
Notre enquête de ménages donne R^2 = 0{,}849 : bien plus élevé que sur les salaires, et c’est normal — le revenu détermine la consommation de façon beaucoup plus directe que l’ancienneté ne détermine le salaire.
Un R^2 ne se compare qu’entre modèles portant sur la même variable expliquée. Comparer 0{,}40 sur les salaires et 0{,}85 sur la consommation ne dit rien : ce ne sont pas les mêmes phénomènes.
La bonne façon de juger un modèle
Quatre questions, dans cet ordre
- Les signes des coefficients sont-ils conformes à la théorie ?
- Leurs ordres de grandeur sont-ils plausibles ?
- Sont-ils significatifs ?
- Enfin, quel est le R^2 ?
Le R^2 arrive en dernier, et ce n’est pas un hasard
Un modèle aux coefficients absurdes et au R^2 de 0{,}95 ne vaut rien. Un modèle aux coefficients justes et au R^2 de 0{,}30 enseigne quelque chose.
On ne publie pas un R^2, on publie un coefficient et son intervalle.
L’écart-type résiduel
La mesure oubliée
\widehat{\sigma}_\varepsilon = \sqrt{\frac{\text{SCR}}{n-2}}
C’est l’écart-type des résidus, dans l’unité de la variable expliquée.
Elle est souvent plus parlante que le R^2
Sur nos salaires, \widehat{\sigma}_\varepsilon = 2\,008 dirhams : le modèle se trompe typiquement de deux mille dirhams sur un salaire individuel.
Voilà une phrase qu’un directeur des ressources humaines comprend immédiatement. « R^2 = 0{,}40 » ne lui dit rien. Le n-2 au dénominateur est celui du chapitre 20 de l’inférence : deux paramètres estimés, deux degrés de liberté perdus.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- \text{SCT} = \text{SCE} + \text{SCR} : le double produit s’annule, propriété exacte des MCO.
- R^2 = \text{SCE}/\text{SCT} : la part de variance expliquée, entre 0 et 1.
- En régression simple, R^2 = r^2 — et c’est le \eta^2 de l’ANOVA.
- Un R^2 faible est normal sur données individuelles ; 0{,}40 ici.
- Un R^2 ne se compare qu’à variable expliquée identique : 0{,}40 et 0{,}85 ne se confrontent pas.
- \widehat{\sigma}_\varepsilon = \sqrt{\text{SCR}/(n-2)} est souvent plus parlant : 2\,008 dirhams.
La suite
Le R^2 décrit l’échantillon. Il ne dit rien de la population — et c’est pourtant sur elle que porte la question économique.
Le chapitre 5 fait le pas, et il n’introduira rien : tout a été démontré au chapitre 20 du cours d’inférence.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)