Introduction à l’économétrie
Le modèle économétrique
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 2 : Le modèle économétrique
Ajouter l’aléa
Le symbole qui change tout
Le modèle économétrique
C_i = \beta_0 + \beta_1 R_i + \varepsilon_i
Le terme \varepsilon_i est l’erreur — ou perturbation, ou aléa. Il transforme une identité fausse en modèle statistique vrai.
Le modèle n’affirme plus la même chose
Sans \varepsilon : « ce ménage consomme exactement cela ». Avec \varepsilon : « il consomme cela en moyenne, à un écart près ».
La première proposition est réfutée par la première observation venue. La seconde est testable.
Ce que contient le terme d’erreur
Les quatre sources n’ont pas le même statut
Trois sont bénignes
L’erreur de mesure, la forme fonctionnelle approchée et l’imprévisibilité humaine ajoutent du bruit.
Elles rendent l’estimation moins précise. Elles ne la rendent pas fausse.
La quatrième ne l’est pas
Les variables omises sont d’une tout autre nature.
Si une variable absente du modèle est liée à celles qui y figurent, elle contamine l’erreur — et l’estimation devient biaisée. Tout le cours tourne autour de cette distinction.
L’hypothèse décisive
Son énoncé
L’exogénéité
E(\varepsilon_i \mid X_i) = 0
Connaissant la valeur de la variable explicative, l’erreur vaut zéro en moyenne. Autrement dit : l’erreur ne contient rien de systématiquement lié à X.
Ce qu’elle interdit
Elle n’interdit pas que l’erreur soit grande — le modèle peut expliquer peu.
Elle interdit qu’elle soit orientée selon X. Si les ménages à fort revenu étaient aussi ceux qui consomment davantage pour d’autres raisons — une famille plus nombreuse, par exemple — la pente estimée capterait les deux effets et attribuerait au revenu ce qui ne lui revient pas.
Pourquoi elle porte tout le reste
La conséquence
Sous cette hypothèse, et sous elle seule, les estimateurs des moindres carrés sont sans biais :
E(\widehat{\beta}_1) = \beta_1
Le contraste avec les autres hypothèses
Les hypothèses du chapitre 11 concernent la précision : elles décident si les écarts-types sont justes. Quand elles tombent, une correction technique répare tout.
L’exogénéité concerne la justesse elle-même. Quand elle tombe, aucune formule ne répare : il faut changer de modèle ou de méthode. C’est la ligne de partage de l’économétrie entière.
Erreur et résidu
Deux mots que l’on confond souvent
\varepsilon_i = y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i) \qquad\qquad e_i = y_i - (\widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1 x_i)
L’erreur se mesure à la vraie droite : elle est inconnue. Le résidu se mesure à la droite estimée : il est calculé.
C’est la distinction du cours d’inférence, appliquée point par point
m et \overline{x}, \sigma et s, \beta_1 et \widehat{\beta}_1 : à chaque fois, un paramètre inconnu et son estimation.
Ici, la même chose pour chaque observation. Et c’est le résidu, seule quantité observable, qui servira à diagnostiquer l’erreur — tout le chapitre 12 repose là-dessus.
Ce qu’affirme le modèle
L’espérance conditionnelle
La lecture rigoureuse
E(C \mid R) = \beta_0 + \beta_1 R
La droite ne prétend pas passer par les points : elle décrit la moyenne de C pour chaque valeur de R.
Une régression est une moyenne conditionnelle
C’est exactement la notion du chapitre 11 des probabilités — la distribution conditionnelle et sa moyenne.
La nouveauté n’est pas le concept : c’est qu’on suppose ces moyennes alignées, ce qui permet de les résumer par deux nombres au lieu d’une infinité.
Une conséquence pratique
Ce qu’on peut et ne peut pas prédire
Le modèle prédit correctement la consommation moyenne des ménages à revenu donné.
Il ne prédit pas la consommation d’un ménage particulier — l’écart individuel lui échappe par construction. C’est pourquoi le chapitre 6 donnera deux intervalles de prévision, et non un seul.
La modestie du modèle est sa force
Un modèle qui prétendrait tout expliquer serait invérifiable. Celui-ci annonce d’emblée ce qu’il ignore, et le range dans \varepsilon.
C’est cette honnêteté d’écriture qui rend possible de mesurer sa fiabilité.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- C_i = \beta_0 + \beta_1 R_i + \varepsilon_i : le terme d’erreur transforme une identité fausse en modèle testable.
- Il contient variables omises, erreurs de mesure, approximation de forme, et imprévisibilité.
- Seules les variables omises sont dangereuses ; les trois autres sources ne font que du bruit.
- E(\varepsilon_i \mid X_i) = 0 est l’hypothèse décisive : sans elle, l’estimation est biaisée.
- Erreur inconnue, résidu calculé — comme m et \overline{x}.
- La droite décrit une espérance conditionnelle, non les points eux-mêmes.
La suite
Le modèle est posé. Il reste à en estimer les deux paramètres à partir des données.
La méthode est celle du cours de statistique descriptive — les moindres carrés — mais on va enfin dire pourquoi ce critère-là plutôt qu’un autre.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)