Introduction à l’économétrie
Les trois niveaux de test
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 9 : Les trois niveaux de test
Trois questions différentes
Ce qu’ils demandent
Le test global de Fisher
Le modèle sert-il à quelque chose
H_0 : \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_k = 0
F = \frac{\text{SCE}/k}{\text{SCR}/(n-k-1)} \;\sim\; \text{Fisher à } k \text{ et } n-k-1 \text{ degrés de liberté}
Sur le modèle M2
F = \frac{\text{SCE}/3}{\text{SCR}/496} = 296{,}19 \qquad p < 0{,}0001
On rejette : l’ensemble des variables explique significativement le salaire.
Ce que le F global vaut vraiment
C’est le test le moins informatif des trois
H_0 affirme que toutes les variables sont sans effet. Sur des données économiques réelles, cette hypothèse est presque toujours fausse — et donc presque toujours rejetée.
Un F significatif est un minimum, non un résultat. On ne publie pas un modèle sur la foi de son F.
Le lien avec le R^2
F = \frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)}
Les deux mesurent la même chose ; le F y ajoute seulement les degrés de liberté. En régression simple, F = t^2.
Les tests individuels
La question qu’ils posent
Une variable, les autres étant présentes
H_0 : \beta_j = 0 \qquad\qquad t_j = \frac{\widehat{\beta}_j}{\widehat{\sigma}(\widehat{\beta}_j)} \;\sim\; \text{Student à } n-k-1 \text{ ddl}
Les quatre derniers mots sont essentiels
Le t de l’ancienneté ne dit pas si l’ancienneté compte : il dit si elle apporte quelque chose que le diplôme et la région n’apportent pas déjà.
Une variable peut être décisive seule et non significative en présence d’une autre qui la double. Ce n’est pas une contradiction, c’est le sens du ceteris paribus.
Le cas d’école qui déroute
Un F très significatif, aucun t significatif
Cela se produit, et ce n’est pas une erreur de calcul.
C’est la signature de la multicolinéarité : les variables comptent ensemble, mais aucune ne se distingue des autres. Le chapitre 13 en donnera une démonstration complète sur nos données.
La règle de lecture
Un F significatif dit qu’il y a de l’information dans le bloc. Les t disent d’où elle vient.
Quand le premier parle et que les seconds se taisent, l’information est là mais on ne sait pas à qui l’attribuer.
Le test de restrictions
Tester plusieurs coefficients ensemble
Le Fisher partiel
F = \frac{(\text{SCR}_{\text{contraint}} - \text{SCR}_{\text{libre}})/q}{\text{SCR}_{\text{libre}}/(n-k-1)}
où q est le nombre de restrictions testées.
La logique, en une phrase
On estime le modèle avec et sans les variables en question, et l’on regarde de combien la somme des carrés résiduels augmente quand on les retire.
Si elle augmente peu, elles n’apportaient rien.
Quand il est indispensable
Les groupes d’indicatrices
Le diplôme est représenté par deux indicatrices. Tester leurs deux t séparément gonflerait le risque, exactement comme les comparaisons deux à deux du chapitre 17 de l’inférence.
La question correcte est : le diplôme, dans son ensemble, apporte-t-il quelque chose ? Elle exige un Fisher partiel à q=2 restrictions.
Le diplôme, testé correctement
Modèle libre M2 contre modèle contraint M1 :
Sommes des carrés résiduels, en millions : 2\,009 contre 1\,209.
F = \frac{(2\,009 - 1\,209)/2}{1\,209/496} = 164{,}0 \qquad \text{contre un seuil de } 3{,}01
Le diplôme compte, et le test le dit d’un seul coup — sans multiplier les risques.
Tester une hypothèse économique
Le test de restrictions n’est pas réservé aux blocs
Il permet de tester toute contrainte linéaire sur les coefficients : \beta_1 = \beta_2, \beta_1 + \beta_2 = 1, \beta_3 = 0{,}5.
Un exemple classique
Dans une fonction de production \ln Q = \beta_0 + \beta_1 \ln K + \beta_2 \ln L + \varepsilon, l’hypothèse de rendements d’échelle constants s’écrit \beta_1 + \beta_2 = 1.
C’est une hypothèse économique, testable par un simple Fisher partiel. C’est ici que la boucle du chapitre 1 se referme : la théorie impose une contrainte, les données l’acceptent ou la refusent.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- F global : toutes les variables sont-elles sans effet ? Presque toujours rejeté, donc peu informatif.
- t individuels : cette variable apporte-t-elle quelque chose que les autres n’apportent pas ?
- Un F significatif avec aucun t significatif signale la multicolinéarité.
- Fisher partiel : plusieurs coefficients ensemble, en comparant SCR contraint et libre.
- Il est obligatoire pour un groupe d’indicatrices : les t séparés gonfleraient le risque.
- Il teste aussi les contraintes économiques : \beta_1+\beta_2=1 pour des rendements constants.
La suite
Le diplôme, la région et le sexe ne sont pas des nombres : ce sont des catégories. Elles sont pourtant entrées dans les régressions précédentes.
Le chapitre 10 explique comment, et quel piège les guette.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)