Introduction à l’économétrie

Les formes fonctionnelles

Introduction à l'économétrie

Introduction à l’économétrie

Chapitre 18 : Les formes fonctionnelles

Auteur·rice
Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

24 septembre 2026

Sortir de la droite

Les trois formes usuelles

Comment se lit chaque coefficient

Le tableau à connaître
Modèle Écriture Lecture de \beta_1
Linéaire y = \beta_0+\beta_1 x +1 unité de x donne \beta_1 unités de y
Semi-log \ln y = \beta_0+\beta_1 x +1 unité de x donne 100\beta_1 pour cent
Log-log \ln y = \beta_0+\beta_1\ln x +1\,\% de x donne \beta_1 pour cent
Log-lin inverse y = \beta_0+\beta_1\ln x +1\,\% de x donne \beta_1/100 unités
Le troisième cas porte un nom

\beta_1 y est une élasticité : la variation relative de y pour une variation relative de x.

C’est la grandeur que l’économiste manipule le plus — élasticité-prix de la demande, élasticité-revenu, élasticité de substitution. Le double logarithme la donne directement, sans calcul.

Le semi-logarithmique

Pourquoi il s’impose sur les salaires

Trois raisons, et elles convergent
  1. Économique : une augmentation se pense en pourcentage, pas en dirhams. Deux cents dirhams ne signifient pas la même chose sur trois mille et sur quinze mille.
  2. Statistique : la distribution des salaires est étirée à droite ; celle des logarithmes est presque symétrique.
  3. Technique : le logarithme réduit fortement l’hétéroscédasticité du chapitre 14.
Un même geste règle trois problèmes

Ce n’est pas une coïncidence. Les trois symptômes — asymétrie, hétéroscédasticité, effets proportionnels — sont trois manifestations du même fait : la grandeur étudiée est multiplicative, non additive.

Le logarithme transforme les produits en sommes. Il rend additif ce qui l’était par nature.

L’équation de Mincer

L’approximation et sa correction

Deux formules

\text{effet en pourcentage} \;\approx\; 100\,\beta \qquad\qquad \text{exactement} \;=\; 100\left(\mathrm{e}^{\beta}-1\right)

Où l’approximation cesse d’être acceptable
\beta 100\beta Valeur exacte
0{,}0345 3{,}45\,\% 3{,}51\,\%
0{,}1786 17{,}86\,\% 19{,}56\,\%
0{,}4353 43{,}53\,\% 54{,}54\,\%
La règle pratique

En dessous de 0{,}1, l’approximation suffit. Au-delà de 0{,}2, elle devient franchement fausse : onze points d’écart sur le Bac+5.

C’est une erreur d’interprétation très fréquente, et elle sous-estime toujours l’effet réel.

Choisir une forme

Sur quoi se décide le choix

Trois critères, dans cet ordre
  1. La théorie économique : la relation est-elle proportionnelle, additive, à rendements décroissants ?
  2. L’interprétation voulue : cherche-t-on une élasticité ou un effet en unités ?
  3. Le comportement des résidus : la forme retenue les rend-elle homogènes ?
Le R^2 n’est pas dans la liste, et c’est délibéré

Deux modèles dont la variable expliquée diffère — y et \ln y — ont des R^2 non comparables : ils ne portent pas sur la même variance.

Comparer R^2 = 0{,}64 pour le modèle en niveau et 0{,}65 pour celui en logarithme n’a aucun sens. Cette comparaison est l’erreur la plus courante du chapitre.

Les formes non linéaires en x

Le terme quadratique

y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \varepsilon

Toujours linéaire en les paramètres : les MCO s’appliquent sans changement.

Ce qu’il capte, et pourquoi c’est utile ici

Un \beta_2 négatif décrit un effet à rendements décroissants — et l’expérience professionnelle en est le cas typique : les premières années rapportent beaucoup, les dernières peu.

L’équation de Mincer originale contient d’ailleurs l’expérience et son carré, précisément pour cela. Le maximum se situe en -\beta_1/(2\beta_2).

Deux mises en garde

Le logarithme et le zéro

\ln 0 n’existe pas. Sur des variables qui s’annulent — dépenses de publicité, exportations, heures supplémentaires — le passage au logarithme supprime silencieusement des observations.

Vérifiez toujours le nombre d’observations retenu par le logiciel après transformation.

La tentation de la forme flexible

On peut toujours améliorer l’ajustement en ajoutant des carrés, des cubes, des interactions.

On obtient alors un modèle qui décrit parfaitement l’échantillon et ne prédit rien. C’est le surajustement, et c’est le sujet du chapitre suivant.

Ce qu’il faut retenir

Le résumé du chapitre

Six points
  1. Transformer les variables ne quitte pas les MCO : le modèle reste linéaire en les paramètres.
  2. Semi-log : 100\beta est un pourcentage. Log-log : \beta est une élasticité.
  3. Sur les salaires, le logarithme règle trois problèmes d’un coup — et ce n’est pas un hasard.
  4. Mincer : +3{,}5\,\% par année d’ancienneté, +54{,}5\,\% pour un Bac+5.
  5. 100\beta n’est qu’une approximation : au-delà de 0{,}2, utiliser 100(\mathrm{e}^\beta-1).
  6. Deux R^2 ne se comparent jamais si la variable expliquée diffère.
La suite

Une dernière question demeure, et c’est celle qui décide de la valeur d’un travail : quel modèle retenir, et jusqu’où peut-on interpréter ses coefficients ?

Le chapitre 19 clôt le cours sur le mot que tout le monde attend et que personne n’ose écrire : la causalité.

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Ressources du chapitre