Introduction à l’économétrie
La multicolinéarité
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 13 : La multicolinéarité
Le problème
Ce dont il s’agit
Multicolinéarité
Deux ou plusieurs variables explicatives sont fortement liées entre elles, sans l’être parfaitement.
Le calcul aboutit — H5 n’est pas violée — mais il devient instable.
La question à laquelle on ne peut plus répondre
Le ceteris paribus demande l’effet d’une variable les autres étant constantes.
Si deux variables bougent toujours ensemble, les données ne contiennent aucune observation où l’une varie et pas l’autre. On demande au modèle de séparer ce que les données n’ont jamais séparé.
La démonstration
Les quatre symptômes
Ils vont ensemble
- Les écarts-types explosent : 1\,051 contre 11{,}72.
- Les coefficients deviennent non significatifs alors que les variables comptent.
- Ils prennent des valeurs absurdes — ici, un signe négatif pour l’ancienneté.
- Le R^2 ne bouge pas : 0{,}6418 contre 0{,}6436.
Le quatrième est le plus révélateur
Le modèle prédit toujours aussi bien. Il a seulement perdu la capacité d’attribuer.
C’est exactement le cas d’école du chapitre 9 : un F global significatif avec des t individuels qui ne le sont pas.
La mesurer
Le facteur d’inflation de la variance
\text{VIF}_j = \frac{1}{1-R_j^2}
où R_j^2 est le R^2 de la régression de x_j sur toutes les autres variables explicatives.
Sur nos données
| Modèle | Variable | R_j^2 | VIF |
|---|---|---|---|
| M4 | ancienneté | 0{,}012 | 1{,}01 |
| M4 | Casablanca | 0{,}492 | 1{,}97 |
| M4 | Tanger | 0{,}519 | 2{,}08 |
| M6 | ancienneté | 0{,}999876 | 8\,084 |
Comment le lire
Les repères usuels
| VIF | Lecture |
|---|---|
| < 5 | rien à signaler |
| 5 à 10 | à surveiller |
| > 10 | multicolinéarité sérieuse |
Ce que le VIF signifie littéralement
Un VIF de 4 signifie que la variance du coefficient est quatre fois plus grande qu’elle ne le serait si la variable était indépendante des autres. L’écart-type est donc doublé.
Notre modèle M4 est parfaitement sain : le plus grand VIF vaut 2{,}08. La multicolinéarité n’est pas un problème dans nos données réelles — il a fallu la fabriquer pour la montrer.
Que faire
Les remèdes, dans l’ordre
Quatre options
- Retirer l’une des variables redondantes.
- Les combiner en un indice unique.
- Collecter plus de données — cela réduit toutes les variances.
- Ne rien faire.
La quatrième option est légitime, et souvent la bonne
La multicolinéarité ne biaise rien. Les prévisions restent excellentes, le R^2 est intact, et les coefficients non touchés par le problème restent parfaitement estimés.
Si le coefficient qui vous intéresse n’est pas parmi ceux qui sont brouillés, il n’y a rien à corriger. Sur notre modèle M6, les coefficients du diplôme sont inchangés au dirham près.
Le piège du remède
Retirer une variable est plus dangereux que la garder
Supprimer une variable colinéaire pour « nettoyer » le modèle revient à créer une variable omise.
On échange alors un problème de précision — sans biais — contre un problème de biais. C’est très exactement le mauvais échange, et le chapitre 16 dira pourquoi.
La règle de décision
Retirer une variable uniquement si l’on peut justifier économiquement qu’elle n’a pas sa place dans le modèle.
Jamais parce que son t est faible, jamais parce que son VIF est élevé. La spécification se décide sur la théorie, pas sur les diagnostics.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- La multicolinéarité, c’est demander de séparer ce que les données n’ont jamais séparé.
- Quatre symptômes : écarts-types gonflés, t effondrés, coefficients absurdes, R^2 intact.
- Le quatrième est le diagnostic : le modèle prédit bien mais n’attribue plus.
- \text{VIF}_j = 1/(1-R_j^2) ; au-delà de 10, c’est sérieux. Nos données réelles : 2{,}08 au plus.
- Elle ne biaise rien : ne rien faire est souvent la bonne décision.
- Retirer une variable colinéaire crée une variable omise — un problème bien pire.
La suite
Passons à une violation qui, elle, est présente dans presque toutes les données individuelles — et que nos salaires exhibent de façon spectaculaire.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)