Introduction à l’économétrie
L’inférence sur les coefficients
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 5 : L’inférence sur les coefficients
Un coefficient est aléatoire
Le parallèle, une dernière fois
Trois lignes, et tout le chapitre en découle
| Cours d’inférence | Ici |
|---|---|
| \overline{X} estime m | \widehat{\beta}_1 estime \beta_1 |
| E(\overline{X}) = m | E(\widehat{\beta}_1) = \beta_1 |
| \sigma(\overline{X}) = \sigma/\sqrt{n} | \sigma(\widehat{\beta}_1) = \dfrac{\sigma_\varepsilon}{\sqrt{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}} |
La conséquence
Tout ce que les chapitres 9 et 15 de l’inférence ont fait pour la moyenne s’applique à un coefficient sans une formule nouvelle.
Il suffit de remplacer \overline{x} par \widehat{\beta}_1 et l’erreur-type par la sienne.
L’erreur-type, et ce qu’elle enseigne
Deux estimations emboîtées
\widehat{\sigma}_\varepsilon^2 = \frac{\sum_i e_i^2}{n-2} \qquad\qquad \widehat{\sigma}(\widehat{\beta}_1) = \frac{\widehat{\sigma}_\varepsilon}{\sqrt{\sum_i (x_i-\overline{x})^2}}
Trois enseignements pratiques
- Moins de bruit : pente mieux estimée.
- Plus d’observations : le dénominateur grandit, l’erreur-type baisse.
- Des x plus étalés : le dénominateur grandit aussi.
Le troisième est le moins connu et le plus utile : on mesure une pente d’autant mieux que le levier est long. Vingt salariés répartis de un à vingt ans d’ancienneté valent mieux que cent tous entre neuf et onze ans.
Le test de significativité
La statistique
Les cinq étapes, appliquées
Sur la pente de l’ancienneté
1. H_0 : \beta_1 = 0 contre H_1 : \beta_1 \neq 0. 2. \alpha = 5\,\%, bilatéral. 3. t = \dfrac{277{,}17}{15{,}06} = 18{,}41. 4. Seuil : 1{,}96, avec 498 degrés de liberté. 5. On rejette H_0 : l’ancienneté explique significativement le salaire.
Ce que l’hypothèse nulle signifie économiquement
Sous H_0, la droite vraie est horizontale : l’ancienneté n’influence pas le salaire, le revenu n’influence pas la consommation.
Rejeter, c’est affirmer qu’une relation existe. Ce n’est pas encore affirmer qu’elle est causale — le chapitre 19 y reviendra.
L’intervalle vaut mieux que le test
Sur nos données
277{,}17 \;\pm\; 1{,}96 \times 15{,}06 \;=\; [\,247{,}65 \;;\; 306{,}68\,]
Une année d’ancienneté vaut entre 248 et 307 dirhams de salaire mensuel.
C’est cela qu’on négocie
Le test dit qu’il y a un effet. L’intervalle dit lequel, avec sa précision.
Une grille salariale se construit sur [248\,;307], jamais sur une p-value. C’est la raison pour laquelle les revues exigent aujourd’hui les intervalles — c’était déjà la conclusion du chapitre 15 de l’inférence.
Tester une valeur autre que zéro
Le test n’est pas réservé à la nullité
t = \frac{\widehat{\beta}_1 - \beta_1^0}{\widehat{\sigma}(\widehat{\beta}_1)}
où \beta_1^0 est la valeur imposée par la théorie.
Keynes, testé pour de bon
La théorie affirme \beta_1 < 1. Sur les 400 ménages, \widehat{\beta}_1 = 0{,}6960 avec un écart-type de 0{,}0147 :
t = \frac{0{,}6960 - 1}{0{,}0147} = -20{,}66
On rejette massivement H_0 : \beta_1 = 1 en faveur de \beta_1 < 1. La loi psychologique fondamentale est corroborée par les données — et c’était l’étape 4 de la démarche du chapitre 1.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- \widehat{\beta}_1 est une variable aléatoire, sans biais et asymptotiquement normale — comme \overline{X}.
- \widehat{\sigma}_\varepsilon^2 = \sum e_i^2/(n-2) : deux paramètres estimés, deux degrés de liberté perdus.
- L’erreur-type baisse avec le nombre d’observations et avec l’étalement des x.
- t = \widehat{\beta}_1/\widehat{\sigma}(\widehat{\beta}_1), loi de Student à n-2 degrés de liberté.
- Sur nos données : t = 18{,}41 et \text{IC}_{95\,\%} = [247{,}65\,;306{,}68].
- On peut tester n’importe quelle valeur théorique : Keynes donne t = -20{,}66 contre \beta_1 = 1.
La suite
Mesurer et tester sont faits. Reste le troisième but annoncé à l’introduction : prévoir.
Le chapitre 6 le traite — et montre qu’il y a deux prévisions différentes, donc deux intervalles.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)