Introduction à l’économétrie
Estimation et R carré ajusté
- Présentation du cours
- Qu'est-ce que l'économétrie
- De la théorie au modèle
- Le modèle économétrique
- Les moindres carrés ordinaires
- La qualité de l'ajustement
- L'inférence sur les coefficients
- La prévision
- Le modèle multiple et le ceteris paribus
- Estimation et R carré ajusté
- Les trois niveaux de test
- Les variables qualitatives
- Les hypothèses de Gauss-Markov
- La carte des violations
- La multicolinéarité
- L'hétéroscédasticité
- Les erreurs groupées
- La variable omise
- Normalité et points influents
- Les formes fonctionnelles
- Choisir un modèle, et le seuil de la causalité
- Étude de cas
- Mise en œuvre sur R et Python
Introduction à l’économétrie
Chapitre 8 : Estimation et R carré ajusté
Le défaut du R carré
Une propriété gênante
Le R^2 ne peut jamais baisser
Ajouter une variable explicative ne peut pas augmenter la somme des carrés résiduels.
Au pire, son coefficient estimé sort nul et le modèle est inchangé. Le R^2 est donc croissant par construction avec le nombre de variables.
La conséquence est radicale
Choisir le modèle de plus grand R^2 revient à choisir le modèle le plus long, toujours.
En ajoutant assez de variables sans rapport, on atteint R^2 = 1 — et l’on n’a rien expliqué du tout. Le R^2 est donc inutilisable pour comparer des modèles de tailles différentes.
La correction
Sa formule et sa logique
Le R^2 ajusté
\overline{R}^2 = 1 - \left(1-R^2\right)\frac{n-1}{n-k-1}
Chaque variable ajoutée réduit n-k-1, donc gonfle le second facteur : elle est facturée.
Ce que la facture signifie
Une variable n’améliore le R^2 ajusté que si elle apporte plus qu’elle ne coûte en degré de liberté.
On peut montrer que cela équivaut à ce que son |t| dépasse 1 — un seuil bien plus permissif que 1{,}96. Le R^2 ajusté est donc un critère indulgent, et le chapitre 19 en présentera de plus sévères.
Trois propriétés à connaître
Ce qui distingue les deux
| R^2 | R^2 ajusté | |
|---|---|---|
| Ajout d’une variable | monte toujours | monte ou baisse |
| Valeurs possibles | [0\,;1] | peut être négatif |
| Usage | décrire l’ajustement | comparer des modèles |
Un R^2 ajusté négatif n’est pas une erreur de calcul
Il signale un modèle qui prédit moins bien que la simple moyenne de y.
Cela arrive avec beaucoup de variables sur peu d’observations. Le message est clair : il faut retirer des variables, ou en collecter davantage.
Sur nos données
Les cinq modèles
Ce que chaque ajout apporte
| Modèle | k | R^2 | R^2 ajusté |
|---|---|---|---|
| M1 ancienneté | 1 | 0{,}405 | 0{,}404 |
| M2 + diplôme | 3 | 0{,}642 | 0{,}640 |
| M3 + sexe | 4 | 0{,}642 | 0{,}640 |
| M4 + région | 7 | 0{,}668 | 0{,}664 |
Les cinq modèles, ligne par ligne
La lecture, ligne par ligne
Le diplôme est décisif : le R^2 passe de 0{,}405 à 0{,}642. Il expliquait à lui seul un quart de la dispersion, comme l’ANOVA du chapitre 17 de l’inférence l’avait établi.
Le sexe n’apporte rien : R^2 inchangé, R^2 ajusté qui baisse au troisième chiffre. La variable coûte plus qu’elle ne rapporte.
La région apporte encore deux points et demi. Le marché du travail marocain n’est pas homogène géographiquement.
L’écart-type résiduel, encore
La lecture concrète du progrès
| Modèle | \widehat{\sigma}_\varepsilon |
|---|---|
| M1 | 2\,008 dh |
| M2 | 1\,561 dh |
| M4 | 1\,508 dh |
Elle dit la même chose, en dirhams
Le modèle complet se trompe typiquement de mille cinq cents dirhams sur un salaire individuel, contre deux mille pour le modèle initial.
C’est un progrès réel, et il reste modeste. Deux tiers de la dispersion des salaires tiennent à des facteurs absents du fichier : poste, performance, négociation. Aucune régression ne fera mieux avec ces six colonnes.
Ce qu’il faut retenir
Le résumé du chapitre
Six points
- Le R^2 monte toujours quand on ajoute une variable : il ne peut pas servir à choisir.
- \overline{R}^2 = 1-(1-R^2)\dfrac{n-1}{n-k-1} : chaque variable est facturée.
- Une variable améliore le R^2 ajusté dès que son |t| dépasse 1 — critère indulgent.
- Le R^2 ajusté peut être négatif : le modèle fait alors moins bien que la moyenne.
- Sur nos données : le diplôme est décisif, le sexe n’apporte rien, la région compte un peu.
- \widehat{\sigma}_\varepsilon passe de 2\,008 à 1\,508 dirhams — un progrès réel et modeste.
La suite
Avec plusieurs variables, une question nouvelle se pose : tester chaque coefficient séparément suffit-il ?
Le chapitre 9 montre que non — et que trois tests différents cohabitent, dont les réponses peuvent diverger sans se contredire.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)