Économétrie avancée

Séries temporelles — approfondissements

Économétrie avancée

Chapitre 10 : Séries temporelles — approfondissements

Auteur·rice

Affiliation

Jaouad Madkour

Faculté d’Économie et de Gestion de Tanger

Date de publication

25 septembre 2026

Avant de commencer

Pourquoi ce chapitre

Pourquoi ce chapitre ?

Le chapitre 9 a appliqué les MCO aux séries temporelles sous les hypothèses classiques (exogénéité stricte, en particulier). Or ces hypothèses tombent dès qu’un modèle contient une variable dépendante retardée, et les « petits » échantillons temporels obligent souvent à raisonner en grand échantillon. Ce chapitre pose les conditions — stationnarité et dépendance faible — sous lesquelles les MCO restent valides asymptotiquement, puis alerte sur les séries fortement persistantes qui font échouer cette théorie.

Stationnarité et dépendance

Stationnarité

Processus stationnaire

Un processus \{x_t\} est stationnaire si la loi jointe de (x_{t_1},\dots,x_{t_m}) est identique à celle de (x_{t_1+h},\dots,x_{t_m+h}) pour tout décalage h. La stationnarité en covariance (plus faible) demande seulement : \mathbb{E}(x_t) constante, \mathrm{Var}(x_t) constante, et \mathrm{Cov}(x_t,x_{t+h}) dépendant de h seulement, pas de t.

Pourquoi l’exiger ?

Sans une forme de stabilité dans le temps, on ne peut rien apprendre d’une unique réalisation de la série : si la relation entre variables changeait à chaque période, une seule trajectoire observée ne suffirait pas à l’estimer. Une série à tendance est non stationnaire (sa moyenne bouge) — on la traite en incluant la tendance (processus trend-stationnaire).

Dépendance faible

Dépendance faible (asymptotiquement non corrélée)

Un processus stationnaire est faiblement dépendant si x_t et x_{t+h} deviennent « presque indépendants » quand h \to \infty : concrètement \mathrm{Corr}(x_t,x_{t+h}) \to 0 assez vite. C’est la propriété qui remplace l’échantillonnage aléatoire de l’analyse en coupe : elle fait tenir la loi des grands nombres et le théorème central limite.

MA(1) et AR(1) stable

Le MA(1) x_t = e_t + \alpha_1 e_{t-1} est corrélé à un seul retard puis non corrélé au-delà : faiblement dépendant. L’AR(1) y_t = \rho_1 y_{t-1} + e_t est faiblement dépendant si et seulement si |\rho_1| < 1 (condition de stabilité) : alors \mathrm{Corr}(y_t,y_{t+h}) = \rho_1^{\,h} \to 0. Même avec \rho_1 = 0{,}9, la corrélation à 10 périodes n’est plus que 0{,}35.

Propriétés asymptotiques MCO

Convergence et normalité asymptotique

Hypothèses affaiblies (TS.1’ à TS.5’)

On remplace l’exogénéité stricte par l’exogénéité contemporaine \mathbb{E}(u_t \mid \mathbf{x}_t) = 0, en ajoutant la dépendance faible de \{(\mathbf{x}_t, y_t)\}. S’y ajoutent l’homoscédasticité \mathrm{Var}(u_t\mid\mathbf{x}_t)=\sigma^2 et l’absence d’autocorrélation \mathbb{E}(u_t u_s\mid\mathbf{x}_t,\mathbf{x}_s)=0.

Ce que l’on gagne, ce que l’on perd

Sous TS.1’–TS.3’, les MCO sont convergents (mais plus forcément sans biais). Sous TS.1’–TS.5’, ils sont asymptotiquement normaux et les t, F, LM usuels restent valides. Un modèle à variable dépendante retardée viole nécessairement l’exogénéité stricte — donc les MCO y sont biaisés — mais reste convergent si |\rho_1|<1.

Exemple : hypothèse des marchés efficients

Tester l’efficience du marché revient à tester H_0 : \rho_1 = 0 dans \textit{return}_t = \beta_0 + \rho_1\,\textit{return}_{t-1} + u_t. Sur les rendements hebdomadaires du NYSE (1976–1989), \hat\rho_1 = 0{,}059 (t = 1{,}55) : on ne rejette pas l’efficience. Un AR(2) confirme (retards conjointement non significatifs).

Séries fortement persistantes

Marche aléatoire et racine unitaire

Marche aléatoire : le cas \rho_1 = 1

Quand y_t = y_{t-1} + e_t, la série n’est pas faiblement dépendante : \mathrm{Corr}(y_t,y_{t+h}) = \sqrt{t/(t+h)} reste proche de 1 même pour de grands h. On parle de processus I(1) (intégré d’ordre 1), ou à racine unitaire : le passé lointain influence durablement le présent, et la variance croît avec t.

Marche aléatoire et racine unitaire (suite)

Marche aléatoire et racine unitaire (suite 2)

Le piège de la régression fallacieuse

Régresser une série I(1) sur une autre série I(1) indépendante produit très souvent un R^2 élevé et un t « significatif »… alors qu’il n’existe aucune relation. C’est la régression fallacieuse (spurious regression) : la théorie asymptotique usuelle ne s’applique pas aux séries à racine unitaire.

La solution : la différenciation

Rendre la série faiblement dépendante

Si \{y_t\} est I(1), alors la différence première \Delta y_t = y_t - y_{t-1} est I(0), c’est-à-dire faiblement dépendante. On mène alors la régression sur les séries différenciées, retrouvant un cadre où les MCO et l’inférence usuelle sont valides.

Repérer la persistance

Beaucoup de séries macroéconomiques et financières en niveau (PIB, prix, indices boursiers) se comportent comme des I(1). Avant toute régression en séries temporelles, on se demande donc : la série est-elle faiblement dépendante, ou fortement persistante ? Dans le doute, on teste la racine unitaire (chapitre 17) ou l’on travaille en différences.

Synthèse

Ce qu’il faut retenir

Synthèse du chapitre

Les MCO restent valides asymptotiquement en séries temporelles à deux conditions : stationnarité et dépendance faible. Un modèle dynamique (variable retardée) est alors convergent malgré la perte de l’absence de biais. Le danger vient des séries fortement persistantes (racine unitaire), qui invalident l’inférence et provoquent des régressions fallacieuses — la parade étant de travailler en différences premières. Le chapitre 11 traite les deux entorses restantes : autocorrélation et hétéroscédasticité des erreurs.

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