Économétrie avancée
Régression multiple : inférence
- Présentation du cours
- Nature de l'économétrie et données économiques
- Le modèle de régression simple
- Régression multiple : estimation
- Régression multiple : inférence
- Régression multiple : propriétés asymptotiques des MCO
- Régression multiple : approfondissements
- Variables qualitatives (indicatrices)
- Hétéroscédasticité
- Problèmes de spécification et de données
- Introduction aux séries temporelles
- Séries temporelles — approfondissements
- Autocorrélation et hétéroscédasticité en séries temporelles
- Données de panel — méthodes simples
- Données de panel — méthodes avancées
- Variables instrumentales et doubles moindres carrés
- Modèles à équations simultanées
- Variables dépendantes limitées et sélection d'échantillon
- Sujets avancés en séries temporelles
- Réaliser un projet empirique
- Annexe A — Rappels d'outils mathématiques de base
- Annexe B — Rappels de probabilité
- Annexe C — Rappels de statistique mathématique
- Annexe D — Rappels d'algèbre matricielle
- Annexe E — Le modèle de régression linéaire sous forme matricielle
Économétrie avancée
Chapitre 3 : Régression multiple — inférence
Avant de commencer
Pourquoi ce chapitre
Un coefficient estimé n’est jamais nul par hasard, même si le vrai effet est nul — c’est un nombre calculé sur un échantillon particulier. Il faut un cadre statistique rigoureux pour décider si un effet estimé est significativement différent de zéro, et pour quantifier l’incertitude qui l’entoure.
Le modèle linéaire classique
L’hypothèse de normalité
En ajoutant à MLR.1–5 l’hypothèse MLR.6 — u\mid x_1,\dots,x_k\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) —, on obtient le modèle linéaire classique (MLC). Sous ces six hypothèses, les estimateurs MCO sont normalement distribués : \hat\beta_j \sim \mathcal{N}\big(\beta_j,\ \operatorname{Var}(\hat\beta_j)\big), et, en remplaçant \sigma^2 par son estimation, \dfrac{\hat\beta_j-\beta_j}{\operatorname{se}(\hat\beta_j)}\sim t_{n-k-1}.
Le test de Student
Tester un coefficient
Pour tester H_0:\beta_j=0 contre H_1:\beta_j\neq0, la statistique t = \dfrac{\hat\beta_j}{\operatorname{se}(\hat\beta_j)} suit une loi t_{n-k-1} sous H_0. On rejette H_0 au seuil \alpha si |t|>t_{\alpha/2,\,n-k-1} — le coefficient est alors dit statistiquement significatif au seuil \alpha.
Un intervalle de confiance à 100(1-\alpha)\% pour \beta_j est \hat\beta_j \pm t_{\alpha/2,\,n-k-1}\ \operatorname{se}(\hat\beta_j).
Un coefficient peut être statistiquement significatif (grand échantillon, faible erreur-type) tout en étant économiquement négligeable — et inversement, un effet important peut manquer de significativité sur un petit échantillon. Toujours interpréter l’ampleur du coefficient, pas seulement son test t.
Le test de Fisher
Tester plusieurs restrictions à la fois
Pour tester q restrictions simultanément (par exemple, H_0:\beta_2=\beta_3=\cdots=\beta_{k}=0, l’exclusion conjointe de plusieurs variables), on compare la somme des carrés des résidus du modèle contraint (SSR_r, imposant H_0) à celle du modèle non contraint (SSR_{ur}) : F = \dfrac{(SSR_r-SSR_{ur})/q}{SSR_{ur}/(n-k-1)} \ \sim\ F_{q,\,n-k-1} \text{ sous } H_0. Plus F est grand, plus imposer les restrictions dégrade l’ajustement — un argument contre H_0.
Tester H_0:\beta_1=\cdots=\beta_k=0 (aucun régresseur n’a d’effet) est le test F de significativité globale de la régression, rapporté automatiquement par tout logiciel économétrique — un test conjoint qu’aucune suite de tests t individuels ne peut reproduire correctement (les tests t ignorent la corrélation entre estimateurs).
Pour un modèle multifactoriel (l’introduction, économétrie financière), le test t sur chaque \hat\beta_{ik} indique si l’actif est significativement exposé au facteur k pris isolément ; le test F de significativité globale répond à une question différente et plus large : le modèle factoriel dans son ensemble explique-t-il significativement le rendement de l’actif ? On utilise de même un test F pour tester si un sous-ensemble de facteurs (par exemple, tous les facteurs sectoriels) peut être exclu conjointement du modèle sans perte significative d’ajustement.
Synthèse
Ce qu’il faut retenir
- Sous MLR.1–6 (modèle linéaire classique), t=\hat\beta_j/\operatorname{se}(\hat\beta_j)\sim t_{n-k-1} sous H_0:\beta_j=0.
- Intervalle de confiance : \hat\beta_j\pm t_{\alpha/2,n-k-1}\operatorname{se}(\hat\beta_j).
- Le test F teste des restrictions multiples simultanément, y compris la significativité globale du modèle — au-delà de ce que des tests t isolés peuvent révéler.
Tout ce chapitre repose sur l’hypothèse de normalité (MLR.6), rarement vérifiée exactement dans les données réelles. Que devient l’inférence quand on la retire, mais que l’échantillon est grand ? C’est l’objet des propriétés asymptotiques.
Ressources du chapitre
- Diapositives
- Polycopié du chapitre
- Exercices corrigés
- Application interactive
- — Vidéo
- QCM (bientôt)